Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 75. Архимедова спираль

1. Определение. Пусть прямая (рис. 105), исходя из начального положения равномерно вращается около неподвижной точки О, а точка исходя из начального положения О, равномерно движется вдоль Линия, описываемая точкой называется архимедовой спиралью — в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (3 в. до н. э.), впервые изучившего эту линию.

Рис. 104

Рис. 105

Замечание. Входящие в определение кинематические понятия можно устранить, заменив их условием — чтобы расстояние было пропорционально углу поворота прямой .

Повороту прямой из любого ее положения на данный угол соответствует одно и то же приращение расстояния . В частности, полному обороту соответствует одно и то же смешение Отрезок а называется шагом архимедовой спирали.

Данному шагу а соответствуют две архимедовы спирали, различающиеся друг от друга направлением вращения прямой При вращении против часовой стрелки получается правая спираль (рис. 106, жирная линия); при вращении по часовой стрелке — левая (рис. 106, штриховая линия).

Правую и левую спирали с одним и тем же шагом можно совместить, но для этого надо у одной из них лицевую сторону сделать оборотной.

Как видно из рис. 106, правую и левую спирали одного и того же шага можно рассматривать как две ветви линии, описываемой точкой когда последняя пробегает всю прямую проходя точку О попутно.

2. Полярное уравнение (О — полюс; направление полярной оси ОХ совпадает с направлением движения точки когда она проходит через точку ; а — шаг спирали):

Положительным значениям соответствует правая ветвь; отрицательным значениям — левая. Уравнение (1) можно записать в виде

Рис. 106

где k (параметр архимедовой спирали) есть смещение точки по прямой при повороте последней на угол в один радиан.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление