Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q)

Рассмотрим уравнение

при при имеем прямую .

Если определитель

не равен нулю, то уравнение (1) представляет ту же равностороннюю гиперболу, что и уравнение (1) § 71:

где с той лишь разницей, что центр смещается из начала координат в точку (рис. 95, 96). Значит (§ 71), полуоси равны

Рис. 95

Рис. 96

В случае, когда (тогда ), действительная ось составляет с осью абсцисс угол +45° (см. рис. 95), если же то угол -45° (см. рис. 96). Пример 1. Уравнение

представляет равностороннюю гиперболу (см. рис. 95) с центром и с полуосями . Ось образует с ОХ угол 45°, так как Координаты вершины А будут:

Так же найдем:

Пример 2. Уравнение

представляет равностороннюю гиперболу (см. рис. 96) с центром и с полуосями Ось составляет с ОХ угол -45°, так как

Замечание 1. Если определитель равен нулю, то величины пропорциональны так что делится на частное равно Уравнение (1) представляет в этом случае прямую лишенную точки (при выражение (1) неопределенно; см. § 71, замечание).

Например, уравнение представляет прямую лишенную точки Если неопределенной величине у давать всевозможные значения, то, кроме прямой получим еще прямую

Замечание 2. «Выпадение» точки из прямой можно наглядно представить себе следующим образом. Рассмотрим уравнение здесь так что при мы имеем гиперболу с асимптотами Но когда величина близка к 1, эта гипербола (рис. 97, где ) очень тесно примыкает к своим асимптотам и пересекающимся в точке Можно было бы ожидать, что при мы получим

Рис. 97

пару прямых Однако прямая выпадает, так как она параллельна оси значит (§ 14, замечание 2), ее нельзя представить уравнением, разрешенным относительно ординаты. Вместе с прямой выпадает и лежащая на ней точка К.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление