Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 66. Инварианты уравнения второй степени

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

которое получается из (1) с помощью формул преобразования координат (см. примеры §§ 61 и 62). При этом значения (все или некоторые) отличаются от значений одноименных величин .

Однако три нижеприведенных выражения, составленные из величин всегда остаются равными одноименным выражениям, составленным из величин Эти три выражения называются инвариантами уравнения второй степени:

а) первый инвариант А + С;

б) второй инвариант (малый дискриминант);

в) третий инвариант

Пример 1. Уравнение

мы преобразовали в § 61 (пример 1) к виду

соответственно повороту осей на угол .

Выражение в старой системе равнялось в новой системе одноименное выражение равняется так что

Малый дискриминант в старой системе был ранен

в новой системе имеем:

так что

Большой дискриминант в старой системе был равен

в новой системе

так что

Пример 2. Уравнение

мы затем преобразовали в § 62 (см. пример 1) к виду соответственно переносу начала координат в точку Большой дискриминант теперь будет:

т. е.

Два других инварианта, очевидно, тоже сохранили прежние значения.

Для доказательства неизменности каждой из величин а), б), в) достаточно составить выражения величин через А, В, С,... (эти выражения будут содержать также угол поворота а и координаты нового начала). Подставив их, например, в выражение А + С, мы после упрощений найдем А + С и т. д. Однако эти выкладки очень громоздки.

Замечание. Если обе части уравнения (1) умножить (или разделить) на какое-нибудь число к, то новое уравнение представляет ту же линию второго порядка. Однако теперь величины а), б), в) изменяются: первая умножится на вторая на третья на Вот почему величины а), б), в) называются инвариантами уравнения второй степени, а не инвариантами линии второго порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление