Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы

Все эллипсы, гиперболы и параболы обладают следующим свойством: для каждой из этих линий остается неизменным отношение (рис. 63)

где расстояние от ее произвольной точки до данной точки (фокуса), а расстояние от точки до данной прямой (директрисы).

Для эллипса (рис. 64) это отношение меньше единицы (оно равно эксцентриситету эллипса ; ср. §§41,51). Для гиперболы

Рис. 101

Рис. 67

Рис. 65

Рис. 66

(рис. 65) оно больше единицы (оно равно эксцентриситету гиперболы §§ 43, 51); для параболы (рис. 66) оно равно 1 (§ 48).

Обратно, всякая лийия, обладающая указанным свойством, есть либо эллипс (если ), либо гипербола (если либо парабола (если ). Поэтому упомянутое свойство можно принять за общее определение эллипса, гиперболы и параболы, а неизменное отношение назвать эксцентриситетом. Эксцентриситет параболы равен единице, для эллипса для гиперболы

Заданием эксцентриситета и расстояния от фокуса до директрисы полностью определяются величина и форма эллипса, гиперболы и параболы. Если при данном изменять то все получаемые кривые будут подобны друг другу.

Хорда эллипса, гиперболы или параболы (см. рис. 64, 65, 66), проходящая через фокус и перпендикулярная оси называется фокальной хордой и обозначается

Величина (т. е. длина фокальной полухорды) называется параметром эллипса, гиперболы или параболы. Она связана с соотношением

так что для параболы

Вершины эллипса, гиперболы и параболы (А на рис. 64, 65, 66) делят отрезок в отношении Вторая вершина эллипса и гиперболы (А на рис. 64, 65) делит в том же отношении внешним образом (§ 11).

Рис. 67

Рис. 68

В соответствии с новым определением эллипс, гипербола и парабола представляются единым уравнением. Если за начало координат принять вершину А (рис. 67) и ось направить по лучу то это уравнение будет:

здесь параметр, эксцентриситет.

Вблизи от вершины парабола по форме мало отличается от эллипсов и гипербол, имеющих эксцентриситет, близкий к 1. На рис. 68 изображены эллипс с эксцентриситетом ; гипербола с эксцентриситетом и парабола имеющие общий фокус и общую вершину А.

Полуоси и полуфокусное расстояние с эллипса и гиперболы выражаются через следующим образом:

Расстояние от фокуса до вершины А во всех трех случаях выражается формулой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление