Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

§ 503. Строфоида

1. Определение и построение. Прямая строфоида, или просто строфоида, определяется так: берем взаимно-перпендикулярные прямые (рис. 479) и на одной из них точку через нее проводим произвольную прямую пересекающую в точке На откладываем отрезки равные (О — точка пересечения АВ и CD). Строфоида (прямая) есть геометрическое место точек .

Косая строфоида (рис. 480) строится аналогично стой разницей, что и пересекаются косоугольно.

Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ж. Робервалем в 1645 г. под именем птероиды. Нынешнее название введено Миди в 1849 г.

2. Стереометрическое образование. Представим себе цилиндрическую поверхность с осью (см. рис. 479) и радиусом Через точку А проведем перпендикулярную плоскости чертежа произвольную плоскость К (прямая след этой плоскости). В сечении получим эллипс; его фокусы описывают прямую строфоиду.

Косая строфоида строится аналогично с той лишь разницей, что цилиндрическая поверхность заменяется конической: ось конуса на рис. 480) проходит через О перпендикулярно прямая проходящая

Рис. 479

Рис. 480

через В параллельно одна из образующих. Точки фокусы соответствующего конического сечения; косая строфоида расположена на обеих полостях конической поверхности и проходит через вершину последней.

3. Уравнение в декартовой системе (О — начало координат; ось ОХ направлена по лучу когда строфоида — косая, система координат — косоугольная, ось OY направлена по лучу OD):

Для прямой строфоиды уравнение (1) приводится к виду

Уравнение в полярной системе (О — полюс, ОХ - полярная ось):

Рациональное параметрическое представление :

4. Особенности формы. Точка О — узловая; касательные к двум ветвям, проходящим через О, взаимно перпендикулярны (как для прямой, так и для косой строфоиды). Для косой строфоиды (см. рис. 480) прямая служит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме того, касается косой строфоиды в точке равноотстоящей от

У прямой строфоиды точка касания «уходит в бесконечность» (при удалении вверх), так что прямая рис. 479) служит асимптотой для обеих ветвей.

5. Радиус кривизны в узловой точке прямой строфоиды

6. Площади и объемы для прямой строфоиды. Площадь петли

Объем тела, произведенного вращением петли около оси

Площадь между ветвями и асимптотой (зта площадь простирается в бесконечность, но имеет конечную величину)

Объем тела, произведенного вращением фигуры около оси имеет бесконечную величину.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление