Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 488. Огибающая

Определение 1. Множество линий называется семейством (однопараметрическим), если каждой линии можно поставить в соответствие определенное число С (параметр семейства) таким образом, чтобы непрерывному изменению параметра С соответствовало непрерывное видоизменение линии. Уравнение вида

где непрерывная функция трех аргументов представляет семейство линий на плоскости. Отдельные линии семейства соответствуют отдельным значениям С.

Уравнение (1) называется уравнением семейства.

Пример 1. Уравнение

представляет семейство прямых линий, изображенное на рис. 475. За параметр семейства принят угловой коэффициент прямой.

Пример 2. Уравнение

представляет семейство окружностей радиуса 1 с центрами на оси ОХ (см. рис. 474). За параметр принята абсцисса центра.

Пример 3. Уравнение

представляет семейство окружностей с центром в точке За параметр принят радиус.

Определение 2. Огибающей данного семейства называется такая линия, которая в каждой своей точке касается одной из линий семейства.

В примере 1 огибающая есть парабола (ср. § 487), в примере 2 огибающая есть пара прямых в примере 3 огибающей нет.

Теорема. Огибающая семейства (1) принадлежит так называемой дискриминантной линии, т. е. геометрическому месту точек, удовлетворяющих уравнениям

при всевозможных значениях С. Если исключить С из уравнений (2), то получим уравнение дискриминантной линии.

Замечание 1. Не исключено, что дискриминантная линия лишь частично покрывается огибающей, а может даже случиться так, что дискриминантная линия существует, но у семейства (1) вовсе нет огибающей.

Пример 4. Дискриминантная линия семейства прямых представляется системой

Исключив С, получаем уравнение Дискриминантная линия есть парабола, совпадающая с огибающей семейства (ср. пример § 487).

Пример 5. Дискриминантная линия семейства окружностей

представляется системой

Исключив С, получаем уравнение Дискриминантная линия (пара прямых ) совпадает с огибающей (ср. § 483, пример 2).

Пример 6. Дискриминантная линия семейства полукубических парабол (рис. 476) есть прямая но у данного семейства нет огибающей.

Замечание 2. Если семейство (1) изображает общий интеграл некоторого дифференциального уравнения, то огибающая представляет особый интеграл. Если нет огибающей, то нет и особого интеграла.

Рис. 476

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление