Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 486. Линейное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется линейным, если отношение содержит y лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение принято записывать в виде

здесь какие угодно (непрерывные) функции х.

Если, в частности, то уравнение (2) называется линейным уравнением без правой части. В этом случае переменные разделяются, и общее решение имеет вид

Пример 1. Найти общее решение линейного уравнения без правой части

Решение. Разделяя переменные, получаем:

откуда

или

где Тот же результат мы получили бы по формуле (3) (при ).

Замечание 1. Частное решение получаемое из (6а) при нельзя получить из (6); это решение потерялось при делении уравнения (4) на у. Освободившись от логарифмов, входящих в (6), мы снова ввели решение у = 0. Ср. § 484, пример 1.

Замечание 2. На практике применение готовой формулы (3) не дает существенного преимущества перед последовательными преобразованиями, показанными в примере 1.

Линейное уравнение с правой частью (в нем ) интегрируется следующим образом: находим общее решение (3) соответствующего уравнения без правой части; в этом решении заменяем постоянную С неизвестной функцией и. Полученное выражение подставляем в (2). После упрощений переменные разделяются, и, интегрируя, мы найдем выражение и через

Функция будет общим решением уравнения (2).

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Общее решение соответствующего уравнения без правой части есть (см. пример 1)

Заменяя постоянную С неизвестней функцией и, получаем:

откуда

Подставляем (8) и (9) в (7). После упрощений находим:

Отсюда получаем выражение и через х:

В силу (8) и (10) общее решение данного уравнения будет:

Замечание. Аналогично интегрируется уравнение

получаемое из (2), если поменять ролями х и у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление