Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 485. Однородное уравнение

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если отношение можно представить как функцию отношения Это отношение мы будем обозначать буквой t:

Так, уравнение

однородное, так как

С помощью подстановки

всякое однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение (3) при начальных условиях .

Решение. После подстановки (5) уравнение (3) принимает вид

или

Переменные разделяются. Получаем

При разделении переменных мы потеряли решение Однако оно заведомо не удовлетворяет начальным условиям.

Так как интегрировать надо при начальных условиях то абсцисса положительна (см. ниже замечание), и надо положить

Получаем

откуда

Заменяя на и потенцируя, получаем частный интеграл:

Соответствующее частное решение есть

Замечание. Левая часть формулы (10) не имеет смысла, когда верхний предел равен нулю или принимает отрицательные значения. Поэтому мы должны были при нахождении

решения ограничиться положительными значениями Дает ли функция (13) решение уравнения (3) также и при это надо дополнительно исследовать. Подстановка выражения (13) в левую часть (3) показывает, что функция дает решение для всех значений

Пример 2. Проинтегрировать уравнение (3) при начальных условиях

Решение. Последовательность действий та же, что и в примере 1. Однако вместо (9) надо положить

так что вместо (10) получаем

откуда

Вместо (12) получаем

или

(знак минус перед последней дробью появился потому, что при имеем ). Из (126) получаем искомое частное решение

Оно совпадает с решением примера 1 (ср. замечание к примеру 1).

Если, не обратив внимания на (9а), мы вместо (10а) воспользовались бы формулой (10), то получили бы ошибочный результат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление