Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

имеет бесчисленное множество решений (см. примеры § 479). Как правило, через данную точку рассматриваемой области (§ 478) проходит одна-единственная интегральная линия. Соответствующее решение уравнения (1) называется частным решением, совокупность всех частных решений называется общим решением. Общее решение дифференциального уравнения (1) стараются представить в виде некоторой функции

которая дала бы любое частное решение (при надлежаще выбранном значении С). Такое представление иногда невозможно даже теоретически, а на практике удается лишь для немногих (но важных) классов уравнений (§§ 482—486).

Частное же решение, проходящее через данную точку можно всегда найти, если не в виде точного выражения через элементарные функции, то приближенно (с любой точностью; §§ 490, 491). Числа называются начальными значениями.

Интеграл дифференциального уравнения (1) называется общим, если он равносилен общему решению, и частным, если он равносилен одному частному решению или нескольким.

Пример 1. Найдем частное решение уравнения

(§ 479, пример 1) при начальных значениях Интегральные линии уравнения (3) есть окружности с центром (0; 0). Через точку проходит интегральная линия Это уравнение есть частный интеграл уравнения (3). Он равносилен двум частным решениям:

Второе является искомым (первое не проходит через

Пример 2. Частное решение уравнения (3), проходящее через точку имеет вид

В случаях, когда т. е. когда точка лежит на оси частное решение (согласно замечанию к примеру 1 § 479) имеет вид

В точке (начало координат) частного решения нет.

Совокупность частных решений (4), (5), (6), (7) образует общее решение дифференциального уравнения (3).

Если обозначить постоянную величину через то общее решение можно записать в виде

Уравнение

равносильное общему решению (8), есть общий интеграл уравнения (3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление