Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Двойной интеграл выражается через полярные координаты точки формулой

Здесь та функция координат которая представляет данную функцию точки Выражение называется элементом площади в полярных координатах. Оно эквивалентно площади четырехугольника (рис. 450 ).

Интеграл (1) выражается через повторный (§ 455) так, как если бы были прямоугольными координатами (при подынтегральной функции ).

Если полюс лежит вне контура и каждый полярный луч, пересекающий контур, встречает его не более двух раз то

Здесь функции от представляющие граничные дуги . В частности, эти функции (одна или обе) могут быть постоянными (рис. 451).

Рис. 450

Рис. 451

Если полюс лежит внутри контура (рис. 452) и каждый полярный луч встречает контур однократно, то в формуле (2) можно положить если же полюс лежит на контуре, то .

Рис. 452

Рис. 453

Если каждая окружность с центром в полюсе, пересекающая контур, встречает последний не более двух раз (см. рис. 450), то

Здесь , а функции от представляющие граничные дуги

Пример 1. Найти двойной интеграл

если область полукруг диаметра а, изображенный на рис. 454.

Решение. Для точек полуокружности имеем

Рис. 454

(§ 74, пример 2): . Применяем формулу (2), полагая

Замечание 1. Чтобы выразить интеграл (4) в прямоугольных координатах, надо положить:

Учитывая, что уравнение полуокружности есть получим:

Замечание 2. Интеграл (4) дает объем цилиндрического копыта (ср. § 456, пример 2), у которого высота равна радиусу основания.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Область круг радиуса с центром в точке (0; 0) (интеграл I выражает объем полушария радиуса а). Вычисление в прямоугольных координатах громоздко. Перейдем к полярным. За полюс примем теперь центр круга, т. е. начало координат. Подынтегральная функция примет вид Получим:

Применив (2), найдем:

Пример 3. Найти объем V тела, вырезанного из полушария радиуса а (рис. 455) цилиндрической поверхностью, у которой диаметр равен радиусу шара, а одна из образующих совпадает с осью полушария (тело Вивиани).

Решение. Расположим оси, как на рис. 455. Искомый объем выражается интегралом

Вычисление в прямоугольных координатах громоздко. Переходя к полярным с полюсом в центре О полушария (ср. примеры 1,2), получаем:

Рис. 455

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление