Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов)

Теорема 1. Пусть

есть второй дифференциал функции в ее критической точке (§ 449) (так что числа дают значения вторых производных в точке Если при этом имеет место неравенство

то функция имеет в точке экстремум: максимум, когда А (или С) отрицательно, минимум — если А (или С) положительно.

Замечание 1. Числа при условии (2) всегда имеют одинаковые знаки.

Теорема 1 дает достаточное условие существования экстремума.

Пример 1. Функция (ср. пример § 449) имеет в точке (1; 1) экстремум, так как первые производные в этой точке равны нулю, а вторые производные имеют значения так что неравенство (2) удовлетворено. Экстремум является минимумом, так как положительны.

Теорема 2. Если в критической точке имеет место (при обозначениях теоремы 1) неравенство

то функция не имеет экстремума в точке

Теорема 2 дает достаточное условие отсутствия экстремума.

Пример 2. Функция (ср. пример § 449) в точке (0; 0) не имеет экстремума: хотя первые производные и обращаются здесь в нуль, но теперь имеем:

так что

Замечание 2. Если в критической точке имеет место равенство

то функция может иметь здесь экстремум (максимум или минимум), а может и не иметь. Этот случай требует дополнительного исследования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление