Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов

Определение. Функция имеет максимум (минимум) в точке если во всех точках, достаточно близких к значение меньше (больше), чем значение Да, (ср. § 275).

Геометрически: над точкой (рис. 435) поверхность имеет точку лежащую выше (ниже) всех соседних.

Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум в точке то в этой точке полный дифференциал либо тождественно равен нулю, либо не существует.

Замечание 1. Условие равносильно системе двух равенств:

Равенство взятое в отдельности, есть необходимое условие экстремума при неизменности у (§ 276). Геометрически оно означает, что сечение поверхности, параллельное плоскости имеет в точке касательную, параллельную оси ОХ (ср. § 426). Аналогичный смысл имеет равенство

Геометрически: в точке лежащей выше (ниже) всех соседних, поверхность либо имеет горизонтальную касательную плоскость (как на рис. 435), либо не имеет никакой касательной плоскости (как на рис. 436).

Рис. 435

Рис. 436

Замечание 2. Определение экстремума и необходимое условие остаются теми же для любого числа аргументов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление