Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение 1. Через точку поверхности (рис. 434) будем проводить на поверхности линии имеющие в точке касательные Плоскость в которой лежат всевозможные касательные, называется касательной плоскостью к поверхности в точке (точка касания).

Рис. 434

Пример 1. Пусть прямая касательная к какой-либо сферической линии. Тогда перпендикулярна радиусу, т. е. лежит в плоскости проходящей через точку перпендикулярно радиусу. Следовательно, касательная плоскость сферы.

Пример 2. Коническая поверхность не имеет касательной плоскости в вершине К. Действительно, если через К проводить всевозможные линии, то их касательные в точке К не будут лежать в одной плоскости.

Замечание. Поверхность не имеет касательной плоскости в точке в том и только в том случае, когда функция не дифференцируема в рассматриваемой точке. Поверхности, реализуемые физически, могут лишаться касательной плоскости лишь в отдельных точках (конические точки) или вдоль отдельных линий [ребра) (ср. § 434, замечание 2).

Пример 3. Функция доопределенная условием не дифференцируема в точке (§ 434, пример). В соответствии с этим поверхность

не имеет касательной плоскости в точке

Определение 2. Нормалью к поверхности в точке называется нормаль к касательной плоскости, проведенной через точку

Пример 4. Нормаль сферической поверхности в каждой ее точке проходит через центр сферы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление