Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 421. Способы задания функций нескольких аргументов

1. Функцию двух или большего числа аргументов можно задать формулой (или несколькими формулами). Функция, заданная формулой, может быть явной или неявной (ср. § 197).

Пример 1. Формула

где выражает зависимость между объемом V одного килограмма воздуха его давлением и температурой t (по Цельсию). Каждая из переменных есть неявная функция двух других. Формула

задаст как явную функцию двух аргументовр и Область определения этой функции есть совокупность физически возможных значений давления и температуры (t может принимать лишь значения, превышающие -273°, р - лишь положительные значения).

Замечание. Часто функция нескольких аргументов задается формулой без указания физического смысла входящих в нее величин. Если при этом не дано никаких указаний относительно области определения функции, то подразумевается, что область определения охватывает все те точки, для которых формула имеет смысл.

Пример 2. Пусть функция двух аргументов х, у задана формулой

без указания области определения функции. Формула (3) имеет смысл лишь тогда, когда Следовательно, область определения есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса с центром в начале координат.

Пример 3. Формула задает функцию трех переменных. Формула имеет смысл лишь при условии, что область определения есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на поверхности шара радиуса а с центром в начале координат.

2. Функцию двух или большего числа аргументов можно задать таблицей. При двух аргументах таблицу удобно располагать в виде прямоугольника. В верхней

строке проставляют значения одного из аргументов, в левом столбце — значения другого. В пересечении соответствующих строки и столбца записывают значение функции (таблица с двойным входом).

Пример 4. Нижеследующая таблица дает объем воздуха как функцию давления и температуры (см. пример 1):

3. Функцию двух аргументов можно представить пространственной моделью (пространственным графиком). Пространственная модель функции есть некоторая поверхность отнесенная к прямоугольной системе координат проекция точки поверхности на плоскость служит изображением пары значений аргументов х, у, апликата точки изображает соответствующее значение функции

Для функции трех и большего числа аргументов этот способ неприменим.

Пример 5. Функция, заданная формулой

представляется полусферой (рис. 429; ср. пример 2).

Рис. 429

4. Функцию двух переменных можно представить на плоскости способом пометок. Пара значений х, у изображается точкой а значение числовой пометкой. (Этот способ применяется в картографии для обозначения высоты пункта.) Точки, для которых имеет одно и то же значение, соединяют линией (линия уровня); при ней ставится соответствующая числовая пометка. Когда точка лежит на одной из линий уровня, то значение функции прочитывается непосредственно; если не лежит, то берем ближайшие две линии уровня, между которыми лежит точка и выполняем интерполяцию (на глаз).

Пример 6. На рис. 430 изображены линии уровня функции соответствующие нарастанию функции на Значение в точке прочитывается по пометке 0,6а. Чтобы найти значение в точке прочитываем пометки 0,6а и 0,8а при ближайших линиях уровня. Так как находится примерно на равном расстоянии от обеих этих линий, то .

Замечание. Если пересечь поверхность плоскостью и спроецировать сечение на плоскость то получим линию уровня с пометкой Так, если пересечь полусферу плоскостью то получим сечение (см. рис. 429). Его проекция (см. рис. 429 и 430) на плоскость есть линия уровня с пометкой 0,8а.

Рис. 430

Функцию трех переменных можно аналогично представить способом пометок в пространстве. Роль линий уровня играют поверхности уровня.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление