Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 41. Другое определение эллипса

Определение. Эллипс есть геометрическое место точек сумма расстояний от которых до двух

данных точек имеет одно и то же значение 2а:

Точки называются фокусамиэллипса, а расстояние фокусным расстоянием; оно обозначается

Так как , т.е.

Определение настоящего параграфа равнозначно с определением § 40 (ср. уравнение (7) с уравнением (2) § 40).

Каноническое уравнение эллипса. Примем прямую (рис. 38) за ось абсцисс и середину О отрезка за начало координат. Согласно определению эллипса и равенству (1) § 10 имеем . Согласно § 10

Освободившись от радикалов, получим равносильное уравнение

Рис. 37

Рис. 38

или

Вследствие неравенства (3) величина положительна. Поэтому уравнение (6) можно написать в виде

где

Уравнение (7) совпадает с (2) § 40. Значит, линия, названная в настоящем параграфе эллипсом, действительно тождественна с линией, названной эллипсом в § 40. При этом оказывается, что центр О эллипса (рис. 39) совпадает с серединой отрезка т. е. Большая ось эллипса, согласно равенству (1), оказывается равной неизменной сумме расстояний (см. рис. 38). Малая полуось (см. рис. 39) и отрезок являются катетами прямоугольного треугольника гипотенуза этого треугольника равна а. Это видно из равенства (8), а также из того, что равные отрезки и составляют в сумме 2а (по определению эллипса). Таким образом, расстояние от фокуса до конца малой оси равно длине большой полуоси.

Отношение фокусного расстояния к большой оси, т. е. величина - называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет обозначается греческой буквой е («эпсилон»):

Вследствие неравенства (3) эксцентриситет эллипса меньше единицы. Эксцентриситет и коэффициент

Рис. 39

сжатия эллипса (§ 40) в силу равенства (8) связаны соотношением

Пример. Пусть фокусное расстояние эллипса см, а сумма расстояний от произвольной его точки до фокусов составляет 10 см. Тогда большая ось , эксцентриситет Коэффициент сжатия Малая ось . Каноническое уравнение эллипса есть

Замечание. Если окружность рассматривать как частный вид эллипса то т. е. фокусы нужно считать совпавшими. Эксцентриситет окружности равен нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление