Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 409. Возведение положительного числа в комплексную степень

при всех действительных значениях и сходится всюду и имеет суммой .

При любом комплексном значении и ряд (1) тоже сходится, т. е. его частичные суммы (которые теперь являются комплексными числами) стремятся к конечному пределу (который также является комплексным числом).

На этом основано следующее определение нового действия — возведения положительного числа в комплексную степень.

Определение. Возвести число (основание натуральных логарифмов) в комплексную степень значит взять сумму ряда (1). За комплексную степень и всякого другого положительного числа а принимается величина а (при действительном значении и она тождественна с

Замечание. На комплексные степени положительных чисел распространяются все правила действия со степенями. Но их надо доказать особо.

Пример 1. Возвести число в степень

Решение. По определению

Абсцисса суммы равна

(ср. § 272). Ордината суммы равна

Значит,

В данном случае получилось действительное число. Пример 2. Вычислить 10. Решение. По определению

где

Пример 3. Вычислить Решение. Имеем (ср. пример 2):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление