Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды

Предварительные замечания. Для разложения функции в ряд, расположенный по степеням можно искать последовательные производные Если они существуют и конечны, то получаем ряд Тейлора

Ввиду сказанного в § 400 надо еще доказать, что этот ряд имеет ненулевой радиус сходимости и дает в сумме именно а не другую функцию. Иногда удается оценить «остаточный член» и доказать, что . С этой целью представляют

в форме Лагранжа (§ 272, примеры 1 и 2) или в других формах.

В большинстве случаев такая оценка трудна или не выполнима на практике. Тогда можно получить разложение другими способами, минуя вычисление производных (последние сами собой получаются из найденного разложения, как в примере 1 § 400).

Ниже даны разложения простейших функций по степеням Общий член, когда его вид легко усмотреть, опускается.

Показательные функции.

Оба разложения можно получить оценкой остаточного члена (§272, пример 1). Формула (1а) получается из (1) заменой на

Тригонометрические функции.

Оба разложения можно получить оценкой остаточного члена (§272, пример 2). Одно из них можно получить из другого почленным дифференцированием (или интегрированием).

Почленным делением (2) на (3) получаем:

Закон следования коэффициентов не выражается элементарной формулой и поэтому найти радиус сходимости по теореме § 394 затруднительно. Но ясно, что

не превосходит ведь уже при ряд (4) расходится, поскольку .

Замечание. Радиус сходимости ряда (4) оказывается меньшим, чем каждый из радиусов сходимости рядов (2), (3), из которых ряд (4) получается почленным делением. § 397, пример 4.

Функция не разлагается по степеням (так как ).

Гиперболические функции.

(гиперболический синус; обозначение: ),

(гиперболический косинус; обозначение: ),

(гиперболический тангенс обозначение: ).

Разложения (2а) и (3а) получаются вычитанием и сложением (1) и (1а), разложение (4а) — почленным делением (2а) на (3а). замечание к формуле (4).

Разложения гиперболических функций отличаются от разложений одноименных тригонометрических функций только знаками.

Логарифмические функции.

Формулы (5), (6) получаются почленным интегрированием разложений Почленным вычитанием находим:

С помощью ряда (7) удобно вычислять логарифмы целых чисел. Например, при получаем быстро сходящийся ряд для

Биномиальные ряды.

При целом положительном ряд обрывается на члене степени (последующие коэффициенты — нули). Получаемая формула называется биномом Ньютона. Разложение (8) справедливо при любом действительном

При для доказательства можно использовать остаточный член Лагранжа. Другими средствами можно доказать справедливость формулы (8) для всего промежутка

Частными случаями формулы (8) являются следующие разложения:

Обратные тригонометрические функции.

Разложения (16) и (17) получаются соответственно из (15) и (12) почленным интегрированием в пределах от нуля до

Разложения

получаются из (16) и (17).

Обратные гиперболические функции.

(гиперболический обозначение:

(гиперболический ареатангенс; обозначение: ). Функции

(гиперболический ареакосинус) и

(гиперболический ареакотангенс) не разлагаются в ряд по степеням (они не определены ни в одной точке промежутка , в частности в точке х = 0).

Разложения (16а) и (17а) отличаются от разложений (16) и (17) только знаками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление