Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 379. Перестановка членов ряда

В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставлять члены; при этом абсолютная сходимость не нарушается и сумма не меняется (в частности, сумма сходящегося положительного ряда не зависит от порядка членов).

Напротив, в условно сходящемся ряде не всякая перестановка членов допустима, так как сумма может измениться и даже сходимость может нарушиться. Пример 1. Ряд

получаемый перестановкой членов абсолютно сходящегося ряда тоже сходится и имеет ту же сумму S, что и геометрическая прогрессия (2). Следовательно,

Формулу (3) можно проверить, рассматривая частичную сумму ряда (1) как сумму членов геометрической прогрессии с первым членом и со знаменателем .

Пример 2. Ряд

сходится условно (§ 377). Ряд

полученный перестановкой членов ряда (4), сходится, но его сумма в полтора раза больше суммы данного ряда (§ 371, предостережение).

Замечание. В каждом условно сходящемся ряде можно так переставить члены, чтобы новый ряд имел бы суммой любое наперед заданное число (можно также заставить ряд расходиться).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление