Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 371. Простейшие действия над рядами

1. Почленное умножение на число. Если ряд

сходится и сумма его есть то ряд

полученный почленным умножением ряда (1) на одно и то же число тоже сходится, и его сумма равна т. е.

Пример 1. Ряд

сходится и его сумма равна (§ 369, пример 4). Следовательно, ряд

сходится и его сумма равна

2. Почленное сложение и вычитание. Если ряды

сходятся и их суммы соответственно равны то ряд

полученный почленным сложением (или вычитанием), тоже сходится и его сумма равна т. е.

Пример 2. Ряд

сходится и его сумма равна Действительно, этот ряд получается почленным сложением сходящихся рядов , а суммы последних соответственно равны .

Предостережение. Не все свойства конечных сумм остаются в силе для сходящихся рядов. Так, от перестановки членов сходящийся ряд может приобрести иную сумму и даже стать расходящимся. Переставим, например, члены сходящегося ряда

так, чтобы за двумя положительными шел один отрицательный (порядок положительных членов остается прежним; то же для отрицательных). Получим ряд

Он сходится, но его сумма в полтора раза больше прежней. Действительно, мы имеем (см. пример 1):

(вставление нулей не изменяет суммы ряда!). Сложив почленно ряды (10) и (12) , получим:

Сократив дроби и отбросив нули, получим слева ряд (11).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление