Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 351. Касательная к пространственной линии

Касательная к линии в точке есть прямая к которой стремится секущая когда точка стремится к (ср. § 225).

Если линия задана параметрическими уравнениями

то за направляющий вектор (§ 143) касательной можно принять вектор

или коллинеарный ему вектор

Его модуль равен единице. Поэтому вектор называется единичным вектором касательной.

Координаты вектора есть направляющие косинусы касательной (§ 144)

(на рис. 390 ).

Пояснение. За направляющий вектор секущей можно принять вектор а значит, и коллинеарные ему векторы и . Формулы (2) и (3) получаются предельным переходом.

Из рис. 390 имеем Предельный переход дает Аналогично получаем две другие формулы (4).

Симметричные уравнения касательной (§ 150) имеют вид

Штрихи обозначают производные по любому параметру. Пример. Рассмотрим винтовую линию (§ 349)

Вектор

есть направляющий вектор касательной. Из уравнений (6) § 350 находим единичный вектор касательной:

Рис. 390

так что

Последняя формула дает: (ср. § 349).

Уравнения касательной имеют вид

или

В параметрическом виде

В начальной точке касательная представляется уравнениями

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление