Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии

Кривизна линии вычисляется по формуле

радиус кривизны — по формуле

координаты центра кривизны С — по формулам

Если то кривизна равна нулю, радиус кривизны бесконечен и центра кривизны нет. Так всегда бывает, например, в точках перегиба (ср. § 283).

Формулы (1)-(3) заменяются симметричными формулами, если линию задать параметрическими уравнениями Тогда

Штрихи обозначают дифференцирование по параметру Формулы (1)-(3) получаются из (I)-(III). Если положить (тогда Если же положить (тогда ), т. е. если уравнение линии

взять в виде то вместо получим следующие формулы:

Существование производных в точке А данной линии обеспечивает существование кривизны в этой точке. Обратное предложение неверно: бывает и так, что при наличии кривизны в точке А производные (одна или несколько) не существуют. Тогда формулы не подходят, и это свидетельствует о неудачном выборе параметра. См. пример 1 (мелкий шрифт).

Пример 1. Найти кривизну, радиус и центр кривизны С в вершине параболы (см. рис. 381).

Решение. Проще всего принять за аргумент ординату у; из данного уравнения находим

В вершине параболы имеем

По формулам (1а)-(3а) находим

Радиус кривизны в вершине параболы равен ее параметру, т. е. фокус делит пополам отрезок

Если принять за аргумент абсциссу параболы то вместо формул (4) получим (см. § 250)

В вершине параболы производные не существуют, поэтому формулы использовать непосредственно нельзя. Однако для всех остальных точек параболы

формулы (1)-(3) подходят, и после подстановки (7) они преобразуются так:

Если сюда подставить то снова получим значения (6). Смысл этой выкладки состоит в том, что мы нашли пределы, к которым стремятся величины когда точка параболы стремится к вершине последней.

Пример 2. Найти радиус и центр кривизны в вершинах эллипса с полуосями (рис. 382).

Решение. Проще всего воспользоваться параметрическими уравнениями эллипса (§ 252)

Из них находим:

По формулам и получаем:

В вершине где имеем:

В вершине где имеем:

Рис. 382

Замечание. Составив уравнение касательной к эллипсу (§ 252)

найдем, что расстояние от нее до центра (§ 28) равно

Сопоставив с (10), находим:

т. е. радиус кривизны эллипса обратно пропорционален кубу расстояния от центра до касательной в соответствующей точке. В частности, из (12) и (13) находим:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление