Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам

Площадь сектора ограниченного линией и лучами и (рис. 365), выражается формулой

где полярный радиус переменной точки линии ее полярный угол.

Пояснение. Схема § 334 применяется здесь следующим образом.

1. Площадь ставим в соответствие с промежутком изменения полярного угла.

2. Промежуток разбиваем на части, при этом сектор распадается на секторы вида их площади в сумме дают площадь

3. В качестве типичного представителя секторов берем один из них на рис. 365). Заменяем его круговым сектором площадь последнего

есть элемент площади Погрешность приближенной формулы

имеет высший порядок относительно

Погрешность равна площади криволинейного треугольника а последняя меньше

4. Из приближенного равенства (2) вытекает формула (1).

Пример. Найти площадь фигуры (рис. 366), ограниченной первым завитком архимедовой спирали (§ 75) и отрезком а (шаг спирали).

Рис. 365

Рис. 366

Выбрав полярную систему, как на рис. 366, имеем:

Началу завитка О и концу А соответствуют значения

По формуле (1)

т. е. площадь первого завитка втрое меньше площади круга, имеющего радиусом шаг спирали. Этот результат найден Архимедом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление