Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 312. Интегралы вида ...

Интегралы этого вида рационализируются одной из подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера применима при Полагаем

Тогда

Члены, содержащие взаимно уничтожаются, и (а значит, и dx) выражается через t рационально. Подставив это выражение в (1), найдем рациональное выражение и для радикала .

Пример 1.

Полагаем

Отсюда

Следовательно

Третья подстановка Эйлера (о второй см. ниже замечание) применима всякий раз, когда трехчлен с имеет действительные корни, и, в частности, при

Пусть корни будут Тогда полагаем

откуда находим рациональное выражение через t:

Рациональное выражение радикала находим так:

Пример 2.

Трехчлен имеет корни :

Подкоренное выражение положительно при подынтегральная функция обращается в бесконечность).

Полагаем

Отсюда

(в силу неравенства величина отрицательна). Подставляя в правую часть выражение через находим:

В силу (6) и (7) имеем:

Замечание. Первая и третья подстановки Эйлера достаточны, чтобы вычислить любой интеграл рассматриваемого вида. Для полноты приведем и вторую подстановку Эйлера

Она применима при Возводя в квадрат и деля на получаем рациональное выражение через затем (8) дает рациональное выражение радикала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление