Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

Правило 1. Для вычисления интегралов вида

( — целое положительное число) удобно ввести вспомогательную функцию в первом случае и во втором.

Пример 1.

Пример 2.

Для четных степеней или правило 1 не ведет к цели (см. правило 2).

Правило 2. Для вычисления интегралов вида

удобно пользоваться формулами

и вводить вспомогательную функцию

Пример 3.

Пример 4.

Первые два интеграла вычислим сразу, к третьему повторно применим формулу (3), переписав ее в виде

Получаем:

Остается привести подобные члены.

Правило 3. Для вычисления интегралов вида

где по крайней мере одно из чисел нечетное, удобно ввести вспомогательную функцию (если нечетно) или (если нечетно) и поступать так же, как и в примерах 1,2.

Пример Здесь имеем нечетную степень синуса. Представляем подынтегральное выражение в виде

Получаем:

Когда оба числа четные, правило 3 не приводит к цели (см. правило 4).

Правило 4. Для вычисления интегралов вида (5), где четные числа, удобно пользоваться формулами

Пример Представляя подынтегральное выражение в виде

и применив (6) и (3), получим:

Первое слагаемое преобразуем по формуле (4), переписав ее в виде

Второе вычисляем через вспомогательную функцию Получаем:

Правило 5. Для вычисления интегралов вида

удобно пользоваться преобразованиями

Пример 7.

Правило 6. Для вычисления интегралов вида

(n — целое число, большее 1) удобно выделить множитель

Пример 8.

Выделяя множитель , получаем

Первый интеграл равен Второй вычисляется тем же приемом:

Окончательно:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление