Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 290. Решение уравнений. Способ касательных

Пусть на концах промежутка функция имеет противоположные знаки (рис. 314 и 315), а производные сохраняют в промежутке неизменный знак. Для нахождения корня лежащего в промежутке (§ 289), поступаем так.

В том конце дуги где знаки одинаковы, проводим касательную на рис. на рис. 315). За первое приближение искомого корня

Рис. 314

Рис. 315

принимаем точку где касательная пересекает ось

Если касательная взята в точке то

если же — в точке то

В обоих случаях второе приближение находится по формуле

Продолжая процесс, найдем последовательность (рис. 316). Она имеет пределом искомый корень Степень приближения можно определить так же, как и в способе хорд.

Замечание 1. Если касательную провести в том конце дуги, где имеют противоположные

Рис. 316

знаки, то может выйти за пределы промежутка и ухудшить приближения (рис. 317, а).

Замечание 2. Если не сохраняет знака в промежутке то касательные в обоих концах дуги могут пересечь ОХ за пределами промежутка (рис. 317,б).

Рис. 317

Пример. Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения

содержащийся (см. пример § 289) в промежутке Решение. Имеем:

Обе производные сохраняют в промежутке знак плюс. Поэтому берем тот конец данного промежутка , где т. е. конец По формуле (1) находим первое приближение:

Далее находим:

и по формуле (3) получаем второе приближение

Последующие приближения будут все меньше и меньше, причем по ходу выкладки можно предвидеть, что дальнейшие уточнения корня не повлияют на цифру сотен. Поэтому подсчитаем только Вычисление дает:

так что (с точностью, втрое больше требуемой) .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление