Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 289. Решение уравнений. Способ хорд

Пусть на концах промежутка функция имеет противоположные знаки (рис. 312). Если при этом сохраняет в промежутке неизменный знак, то внутри промежутка лежит один-единственный корень уравнения (если не сохраняет знака, то корень тоже есть, но он может быть не единственным).

За первое приближение корня принимаем точку где хорда (рис. 313) пересекает ось

или, что то же,

Рис. 312

Рис. 313

Затем вычисляем и берем тот из промежутков на концах которого имеет противоположные знаки (промежуток на рис. 313). Искомый корень лежит в этом промежутке. Применив формулу, аналогичную (1), получаем второе приближение Продолжая процесс, найдем последовательность она имеет пределом искомый корень

Степень приближения на практике можно определить следующим образом. Пусть требуется точность до 0,01. Тогда останавливаемся на том приближении которое отличается от предшествующего меньше чем на 0,01. Впрочем, не исключено (хотя и мало вероятно), что точность окажется недостаточной. Гарантия будет полной, если убедиться, что знаки противоположны.

Пример. Функция на концах промежутка имеет противоположные знаки:

Производная сохраняет в промежутке знак плюс. Значит, внутри промежутка лежит один корень уравнения

Найдем его с точностью до 0,01. Формула (1) дает:

Теперь вычисляем:

Из двух промежутков (3; 3,53), (3,53; 4) выбираем второй, так как на его концах знаки противоположны.

Находим второе приближение:

Значение

отрицательно, поэтому берем промежуток (3,62; 4). Находим:

и

По ходу выкладки надо ждать, что будет отличаться от менее чем на 0,01 и что дает искомое приближение. Поскольку для полной гарантии мы все равно будем вычислять не станем определять а сразу найдем:

Знаки противоположны. Значит, есть искомое приближение.

Замечание. Способ хорд, как и все способы последовательных приближений, «не боится ошибок»: ошибка в промежуточной выкладке автоматически исправится при следующем шаге. Но окончательную выкладку надо выполнить со всей тщательностью. Чтобы не возникла ошибка от округлений, полезно сохранять запасные цифры.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление