Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 288. Решение уравнений. Общие замечания

Алгебраические уравнения первой и второй степени решаются по формулам, известным из алгебры. Для уравнений третьей и четвертой степени формулы сложны, а общее уравнение пятой или более высокой степени неразрешимо в радикалах. Однако как алгебраическое, так и неалгебраическое уравнение можно решить с требуемой точностью, если предварительно найти грубые приближения. Последние затем постепенно уточняются.

Грубое решение можно найти графически по одному из следующих способов.

Первый способ. Для решения уравнения строим график (см. § 287) и прочитываем абсциссы тех точек, где график пересекает ось

Пример 1. Решить уравнение Строим (рис. 310) график ; прочитываем абсциссы Подстановка покажет, что второй корень — точный, первый и третий — приближенные.

Второй способ. Уравнение можно представить в виде причем одна из функций произвольна. Произвольный выбор используется так, чтобы графики строились возможно легче. Находим точки пересечения графиков. Прочитав их абсциссы, получаем приближенно корни уравнения .

Пример 2. Решить уравнение .

Представим данное уравнение в виде

Строим (рис. 311) графики функций Они пересекаются в одной точке. Прочитав ее абсциссу, получаем приближенный корень

В §§ 289—291 изложены три способа уточнения корней. Они требуют, чтобы искомый корень был отделен, т. е. чтобы был известен некоторый промежуток (промежуток изоляции), где содержится и где нет других корней данного уравнения. Концы сами являются приближенными значениями корня (недостаточным и избыточным). Их можно найти графически по одному из вышеуказанных способов. Чем короче промежуток тем лучше.

Пример 3. Отделить корни уравнения

По графику (см. рис. 310), если он сделан грубо, прочитываем для наименьшего корня промежуток изоляции (1; 1,5); при более точном построении получим более короткий промежуток, например (1,2; 1,4). Для наибольшего корня получим промежуток (4,6; 4,8). Корень не нуждается в отделении: он — точный.

Рис. 310

Рис. 311

Замечание. Для алгебраических уравнений существуют специальные методы решения. Из них заслуживает особого упоминания метод Н. И. Лобачевского; он позволяет с помощью алгебраических действий над коэффициентами уравнения найти с любой степенью точности все корни, в том числе и мнимые.

Метод Лобачевского не требует отделения корней.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление