Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 282. Сторона вогнутости

1. Если вторая производная в точке положительна, то линия обращена здесь вогнутостью вверх, если отрицательна, то вниз (схематический рис. 291).

Пояснение. Если то возрастает в точке (§ 274); значит (§ 281), вогнутость обращена вверх. Аналогичное рассуждение для случая

2. Пусть вторая производная в точке а равна нулю, бесконечна или вовсе не существует.

Рис. 291

Рис. 292

Тогда, если при переходе через вторая производная меняет знак, то линия имеет здесь точку перегиба (рис. 292). Если же сохраняет знак, то линия обращена вогнутостью в соответствующую сторону (см. п. 1) (ср. §§ 277 и 281).

Пример 1. Линия в точке обращена вогнутостью вверх, а в точке вниз, так как вторая производная

положительна при (оба множителя — отрицательны) и отрицательна при .

В точке где имеем перегиб, так как при переходе через вторая производная меняет знак с плюса (при ) на минус (при ). Слева от О линия обращена вогнутостью вверх, справа — вниз.

Пример 2. Линия (рис. 294) в точке где обращена вогнутостью вверх, так как

Рис. 293

Рис. 294

при прохождении через функция сохраняет знак плюс.

Пример 3. Линия (рис. 295) в точке где вторая производная бесконечна, имеет перегиб, так как при переходе через вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Слева от О линия обращена вогнутостью вниз, справа — вверх.

Рис. 295

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление