Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 273. Возрастание и убывание функции

Определение 1. Функция называется возрастающей в точке а, если в достаточной близости от этой точки значениям большим а, соответствуют значения большие а меньшим — меньшие.

Функция называется убывающей в точке если в достаточной близости от этой точки значениям большим а у соответствуют значения меньшие а меньшим — большие.

Пример 1. Функция, изображенная на рис. 261, возрастает в точке так как справа от А точки графика лежат выше чем А, а слева — ниже. При этом рассматриваются лишь те точки графика, ординаты которых достаточно близки к ординате в данном примере — это те точки, которые не выходят за пределы дуги За пределами последней указанное соотношение нарушается; так, точка С лежит правее точки А, но ниже ее, точка левее, но выше.

Та же функция убывает в точке так как в достаточной близости от точки графика справа лежат ниже, чем а слева — выше.

Рассматриваемая функция убывает также в точке .

В точках функция не является ни возрастающей, ни убывающей (в точке она имеет максимум, а в точках минимум; § 275).

Определение 2. Функция называется возрастающей в промежутке если она возрастает в каждой точке внутри промежутка (на концах она может не возрастать).

Аналогично определяется функция, убывающая в промежутке

Пример 2. Функция, изображенная на рис. 261, убывает в промежутке так как она убывает в каждой точке внутри промежутка (и на его концах).

Рис. 261

В промежутке данная функция также убывает, так как она убывает в каждой точке внутри промежутка (на концах и функция не убывает). В промежутке функция возрастает, в промежутке она не является ни возрастающей, ни убывающей. Если же этот промежуток разбить на два: и то в первом функция возрастает, во втором — убывает.

Если функция возрастает в промежутке то в этом промежутке большему значению аргумента соответствует всегда большее значение функции; обратно, если в промежутке большему значению аргумента соответствует всегда большее значение функции, то функция возрастает в промежутке

Если функция убывает в промежутке то большему значению аргумента соответствует всегда меньшее значение функции, и обратно.

Геометрически: в тех промежутках, где функция возрастает, ее график (при движении направо) подымается, в промежутках, где функция убывает, график опускается (ср. пример 2).

Определение 3. Как возрастающая, так и убывающая (в данном промежутке) функция называется монотонной (в рассматриваемом промежутке).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление