Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 263. Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция дифференцируемая в замкнутом промежутке обращается в нуль на концах промежутка. Тогда производная по меньшей мере один раз обращается в нуль внутри промежутка.

На рис. 251 между точками где график функции пересекает ось есть три точки где касательная параллельна оси ОХ (т. е. ).

На рис. 252 между нет ни одной точки с «горизонтальной» касательной. Причина в том, что в точке С у графика нет касательной, т. е. функция не дифференцируема в точке (здесь есть две односторонние производные (§231)).

Рис. 251

Рис. 252

Замечание 1. Если дифференцируемая функция имеет при одинаковые значения, хотя бы и не равные нулю, то производная равным образом обращается в нуль внутри промежутка

Замечание 2. Теорема Ролля остается в силе и в том случае, когда дифференцируема лишь во внутренних точках промежутка на концах же функция может быть и не дифференцируемой, а только непрерывной.

Обычно теорема Ролля высказывается при этих наиболее общих условиях, что усложняет ее формулировку и затрудняет усвоение основного ее содержания. В дальнейшем (§ 264, 266, 283) мы формулируем условия ряда теорем также не в самых общих предположениях; последние приводятся во вторую очередь в виде замечаний.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление