Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 254. Уравнение касательной к плоской линии

Пусть (рис. 249) — касательная к линии в точке Обозначим текущие координаты точки лежащей на касательной, через

При любом задании линии (явном, неявном или параметрическом) уравнение касательной можно записать в следующей симметричной форме:

Рис. 249

Если линия задана уравнением то из (1) получаем:

Если линия задана параметрически, то получаем:

где х, у — производные по параметру. При неявном задании линии приравниваем дифференциалы обеих частей уравнения (ср. § 250) и в полученном равенстве заменяем пропорциональными величинами .

Пример 1. Найти уравнение касательной к параболе в точке (0; 2).

Имеем: Согласно (2) искомое уравнение есть

Пример 2. Найти уравнение касательной к эллипсу

в точке (ср. § 252, пример 2).

Решение. Данной точке соответствует значение Из уравнений (4) находим:

Согласно (3) уравнение касательной есть

т.е.

Пример 3. Найти уравнение касательной к равносторонней гиперболе в точке

Решение. Приравнивая дифференциалы обеих частей уравнения, получаем:

Заменяя величинами находим:

Так как то уравнение (5) можно переписать в виде

Подставляя в (5) или в (6), находим уравнение касательной:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление