Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными

Исчерпывающий перечень возможных случаев слишком сложен. Поэтому ограничимся следующими сведениями.

Пусть дана система уравнений с неизвестными

1. Если определитель порядка

не равен нулю, то система имеет единственное решение

где определитель, полученный из А заменой элементов соответствующими свободными членами аналогично получаются определители

2. Если а среди определителей есть не равные нулю, то система не имеет решений.

3. Пусть теперь причем один из миноров порядка определителя А (например, минор, получаемый рьтчеркиванием второй строки и третьего столбца) не равен нулю. Тогда система сводится к уравнениям; одно из уравнений (второе — соответственно номеру есть следствие остальных. Одному из неизвестных (неизвестному соответственно номеру столбца) можно дать произвольное значение. Остальные неизвестные определяются единственным образом из системы уравнений.

Замечание. В случае, когда все определители порядка, являющиеся минорами определителя А, равны нулю, система может не иметь решений, а может сводиться к уравнениям или меньшему их числу.

Пример 1. Решить систему

Определитель системы А (см. § 185, пример 3) равен -303. Пользуясь приемами, объясненными в § 185, найдем:

Согласно формулам (3) имеем:

Пример 2. Решить систему

Здесь

Между тем

Поэтому система не имеет решений (если первое уравнение почленно умножить на 2 и полученное уравнение почленно сложить со вторым и третьим, то получим , что противоречит четвертому уравнению).

Пример 3. Решить систему

Здесь

Вычеркнув четвертую строку и четвертый столбец, получим минор

Система сводится к трем уравнениям:

Четвертое уравнение есть их следствие (ср. пример 2). Неизвестному и можно дать любое значение. Из (4) находим:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление