Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 184. Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

Пример 1.

Пример 2.

2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-либо двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на противоположный.

Пример 3.

(переставлены вторая и третья строки; ср. § 117, п. 1) Пример 4.

(переставлены первый и третий столбцы).

3. Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Пример 5.

(второй и третий столбцы одинаковы).

Пример 6.

(элементы третьей строки пропорциональны элементам первой строки; ср. § 117, пп. 1, 3, 4).

4. Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) можно вынести за знак определителя.

Пример 7.

5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит только первое слагаемое, в другом — только второе (остальные элементы в обоих определителях те же, что в данном).

Пример 8.

6. Если ко всем элементам какого-либо столбца прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца, то новый определитель равен старому. То же для строк.

Вытекает из пп. 5 и 3.

Пример 9. Определитель равен 12. Прибавим к элементам первой строки элементы второй. Получим Этот определитель тоже равен но вычисляется проще (в разложении по элементам первой строки два слагаемых равны нулю).

Пример 10. Для вычисления определителя

прибавим к элементам первого столбца элементы второго, умноженные на -2. Получим . Этот определитель легко вычисляется разложением по элементам первого столбца (§ 182, формула (7)). Получаем:

Пример 11. Для вычисления определителя

вычтем из элементов второго столбца элементы третьего. Получим:

Теперь вычтем из элементов третьего столбца элементы четвертого, умноженные на 2. Получим:

Разлагая по элементам третьей строки, получаем (как в примере 1 § 183):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление