Главная > Математика > Справочник по высшей математике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 178. Гиперболический параболоид

Поверхность, представляемая уравнением

называется гиперболическим параболоидом (рис. 196).

Сечения плоскостями и (главные сечения) есть параболы

В противоположность главным сечениям эллиптического параболоида (§ 177) параболы (2) и (3) обращены вогнутостью в противоположные стороны (парабола — «вверх», парабола «вниз»). Поверхность (1) имеет седлообразный вид.

Сечение гиперболического параболоида (1) плоскостью представляется уравнением

Это — пара прямых (§ 58, пример 1).

Рис. 196

Плоскости параллельные пересекают гиперболический параболоид по гиперболам

При действительная ось у этих гипербол (например, у гиперболы параллельна оси при (гипербола действительная ось параллельна Все гиперболы (5), лежащие по одну сторону от плоскости подобны друг другу; они попарно сопряжены (§ 47) с гиперболами (5), лежащими по другую сторону от

Гиперболический параболоид не имеет центра; он симметричен относительно плоскостей и и относительно оси Прямая называется осью гиперболического параболоида, точка О — его вершиной, величиныр и параметрами.

Замечание 1. Ни при каких значениях гиперболический параболоид (в отличие от вышерассмотренных поверхностей второго порядка) не является поверхностью вращения.

Замечание 2. Гиперболический параболоид, как и эллиптический, можно образовать параллельным переносом одного главного сечения (например, вдоль другого Но теперь подвижная и неподвижная параболы обращены вогнутостями в противоположные стороны.

Пример. Поверхность есть гиперболический параболоид; оба главных сечения — параболы, равные между собой, но обращенные в противоположные стороны. Поверхность можно образовать параллельным смещением одной из этих парабол вдоль другой. Сечение плоскостью равносторонняя гипербола с полуосями При она обращается в пару перпендикулярных прямых Если эти прямые принять за координатные оси то рассматриваемый гиперболический параболоид представится уравнением

Вообще уравнение представляет тот же гиперболический параболоид, что и уравнение только в первом случае оси совпадают с прямолинейными образующими (§ 180), проходящими через вершину.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление