Главная > Разное > Теория вращающихся звезд
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14.2. ПСЕВДОРАДИАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

Псевдорадиальные изоэнтропические пульсации твердотельно вращающейся слабо деформированной звезды впервые в линейном приближении рассмотрел Леду в 1945 г. Формула Леду для квадрата характеристической частоты колебаний в медленно зращающейся нерелятивистской конфигурации выглядит так:

где 7 — (постоянное) отношение удельных теплоемкостей, в котором можно учесть эффекты лучистого давления, частичной ионизации и вырождения (см. разд. 3.4). Как обычно, (постоянная) угловая скорость, потенциальная гравитационная энергия, а момент инерции относительно центра масс. (Отметим, что в формуле (1) как так и относятся к вращающейся конфигурации, и потому в них неявно входят члены порядка В силу формулы (1) критическое значение ниже которого наступает динамическая неустойчивость, оказывается меньше критического значения для сферической звезды — и равно

Как показал Лебовиц, стабилизирующее влияние медленного вращательного движения проявляется не только при твердотельном, но при любом законе вращения — заведомо, если у постоянно, и с большой вероятностью во многих случаях, когда у переменно

Теперь естественно возникает вопрос: сохраняется ли стабилизирующее влияние вращения на самую низкую -моду в случае быстро вращающихся сильно деформированных конфигураций? До сих пор этой проблеме уделялось сравнительно мало внимания, поскольку при быстром вращении две самые низкие осесимметричные моды, которые в предельном случае гидростатического равновесия независимы, оказываются взаимосвязанными; речь идет о фундаментальной радиальной моде и о самой низкой осесимметричной -моде [см. разд. 6.7, уравнения (120) — (123)]. Судя по всему, есть серьезные основания полагать, что общее стабилизирующее воздействие вращения (при постоянном 7) будет иметь место и в случае больших отклонений от сферичности. На рис. 14.1 показана зависимость критического показателя адиабаты от отношения кинетической

Рис. 14.1. Критическое значение у динамической неустойчивости в зависимости от для четырех последовательностей: сплошная линия крестики штрихпунктирная линия штриховая линия

энергии вращения к потенциальной гравитационной энергии вдоль различных последовательностей дифференциально вращающихся политроп. (Остальные символы определены в разд. 10.4.) Последовательность впервые рассматривалась Чандрасекаром и Лебовицбм; она состоит из сжимаемых сфероидов Маклорена и дает точный предел динамической устойчивости относительно осесимметричных пульсаций. Разумеется, эти конфигурации нетипичны, поскольку принятое распределение массы в них весьма нереалистично. Остальные последовательности получены Острайкером и Боденхеймером на основе вириальных уравнений второго порядка и приближенного выражения для лагранжева смещения (см. разд. 6.7). Мы видим, что быстрое вращение влияет на стабилизацию самой низкой -моды, правда, степень этого влияния зависит от и от Для конфигураций около точки бифуркации критическое значение уменьшается от до 1,23 при и до 1,28 при

Этот результат особенно важен тогда, когда критический показатель адиабаты отличается от своего «классического значения» из-за эффектов, не связанных с вращением. В самом деле, хорошо известно, что эффекты общей теории относительности оказывают дестабилизирующее воздействие на радиальные пульсации сферического тела и что в первом приближении

где k — некоторая (положительная) постоянная, зависящая от модели, радиус Шварцшильда, радиус сферического тела.

Этот результат, который независимо получен в работах Каплана, Чандрасекара и Фаулера, является прямым следствием существования критического радиуса Если же присутствуют эффекты твердотельного вращения и общей теории относительности, причем и те и другие рассматриваются как эффекты первого порядка, то критическое значение ниже которого возникает динамическая неустойчивость в первом приближении равно

Этот результат впервые получили Фаулер, а также Дэрни и Роксбург в постньютоновском приближении общей теории относительности. В дальнейших более точных исследованиях противоположность эффектов вращения и общей теории относительности в значительной степени подтвердилась, по крайней мере для бесконечно малых возмущений.

Для рассмотренных выше движений с малой амплитудой первопричину стабилизирующего влияния вращения на самую низкую псевдорадиальную моду можно усмотреть в сохранении момента количества движения каждого элемента жидкости, выведенного из положения равновесия. Однако вовсе не очевидно, что этот физический аргумент останется справедливым и тогда, когда на медленно вращающуюся конфигурацию накладываются осесимметричные возмущения конечной амплитуды. Действительно, устойчивость к движениям с конечной амплитудой решающим образом зависит от показателя адиабаты 7, от параметра вращения от отношения и от количества энергии, запасенной в пульсациях. Более того, вблизи критического значения предсказанного из линейного анализа устойчивости [см. формулу (4)], влияние последнего фактора становится преобладающим. Для простоты рассмотрим подробнее случай нерелятивистских звезд, а затем перейдем к релятивистским звездам в постньютоновском приближении общей теории относительности.

Ньютоновский случай

В линейном приближении в сжимаемом сфероиде Маклорена допускаются такие осесимметричные движения, для которых лагранжево смещение линейно зависит от эйлеровых переменных х [см. разд. 6.7, уравнения (109), (120) и (121)]. Легко убедиться, что в этой идеализированной конфигурации возможен более широкий класс движений с конечной амплитудой, которые в предельном случае бесконечно малых возмущений сводятся к двум (нетривиальным) зональным модам, изученным в разд. 6.7. С этой целью рассмотрим сфероид во вращающейся системе отсчета и введем лагранжевы переменные X (см. разд. 3.2). В начальный момент, скажем сфероид Маклорена вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси в лагранжевом представлении такое движение имеет вид

Далее, если полностью пренебречь всеми диссипативными эффектами и электромагнитными силами, то можно показать, что простейшие движения с конечной амплитудой — это

где

мгновенная угловая скорость однородного сфероида. Функции удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно получить, подставляя уравнения (8) — в основные уравнения гидродинамики. (Напомним, что при так что в этот момент Формулы (8) — (11) дают точное гомологическое решение, которое в инерциальной системе отсчета представляет собой движения расширения и сжатия, сопровождаемые такими изменениями скорости вращения, что полный момент количества движения конфигурации сохраняется. В частности, если ограничиться медленно вращающимся сфероидом, то можно еще упростить это решение, положив

Формулы (8) — (12) точно описывают простейшие псевдорадиальные пульсации однородного сфероида, частота которых в предельном случае бесконечно малых возмущений равна частоте Леду (1)

Как и в разд. 6.7, воспользуемся теперь теоремой вириала и будем рассматривать формулы (8) — (12) как «пробное решение» для простейших осесимметричных движений медленно вращающейся центрально конденсированной звезды. Поэтому и в линейном, и в нелинейном режимах большему отклонению угловой скорости и распределения масс от однородности будет соответствовать ббльшая ошибка в описании движения. В общем случае скалярная теорема вириала имеет вид

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам; имеем также

(см. разд. 3.7). Предполагается, что в момент тело находится в состоянии стационарного вращения, поэтому из уравнений (5) — (7) и (13) вытекает условие

где индекс «0» соответствует начальному значению при В соответствии с законом сохранения массы, элемент массы можно записать двояко: , отсюда

где якобиан преобразования, которое связывает зависимые переменные х с независимыми с разд. 3.3, уравнение (22)]. Поскольку мы ограничиваемся одними изоэнтропическими движениями, имеем также

где показатель адиабаты у берется постоянным по всей массе. Наконец, мы должны наложить условие

в котором выражается закон сохранения момента количества движения.

Оценим теперь различные члены, входящие в уравнение (13). Прежде всего, подставляя (8) — (12), можно написать

где момент инерции относительно центра масс равновесной конфигурации при Аналогично, поскольку из закона сохранения момента количества движения следует условие получаем далее

где кинетическая энергия вращения при Затем, пользуясь формулой (14) и подставляя формулы (8) — (12) вместо координат без штрихов и со штрихами, получим где при отсюда

Наконец, если подставить формулы (8) — (12) в (16) и (17), то можно написать

При этом мы воспользовались условием равновесия (15), чтобы исключить интеграл от давления.

Подставляя формулы (19) — (22) в скалярную теорему вириала (13), сразу получаем искомое уравнение для функции

где и относятся к вращающейся конфигурации в момент Значит, оба коэффициента в правой части уравнения (23) содержат члены, пропорциональные (для твердотельно вращающейся звезды) или некоторому среднеквадратичному значению угловой скорости (Для дифференциально вращающейся звезды). В последнем случае можно ожидать большей погрешности в описании движения, но качественным особенностям результатов следует доверять. Теперь нужно решить уравнение (23) с подходящими начальными условиями, например при Индекс «0» в величинах теперь можно отбросить — это не вызовет недоразумений.

Прежде чем заняться уравнением (23), рассмотрим случай твердотельно вращающейся звезды, подверженной бесконечно малым возмущениям. Очевидно, можно заменить тогда уравнение (23) его разложением в ряд Тейлора в окрестности значения которое определяет положение равновесия. Полагая

и пренебрегая второй и более высокими степенями получаем

где задается уравнением (1), поскольку почти в точности равно Уравнение (25) немедленно решается:

где Из этого решения сразу следует, что критическое значение даваемое выражением (2), действительно отделяет устойчивые движения от неустойчивых в линейном приближении. В этом суть содержания классического результата Леду.

Обратимся теперь к псевдорадиальным движениям конечной амплитуды, которые описываются уравнениями (8) — (12) и (23). Последнее уравнение удобно переписать в безразмерном виде:

где

причем переменная задается здесь в единицах ( Таким образом, характерное время этих псевдорадиальных движений имеет порядок величины где средняя плотность конфигурации в момент Первый интеграл уравнения (27) можно получить сразу:

где постоянная. Потенциал связанный с движением, имеет вид

В соответствии с уравнением (29), константы не являются независимыми, а связаны соотношением

Вторая квадратура дает в конечном счете неявное решение уравнения (27):

для периодических движений это многозначная функция.

Уравнение (29) просто означает, что в нашей модели осесимметричных пульсаций выполняется закон сохранения энергии. Следовательно, псевдорадиальные движения, описываемые формулами (8) — (12), либо колебательные, либо монотонно растут со временем. (Для колебательных движений с растущей или затухающей амплитудой в уравнение (27) требовалось бы ввести член, пропорциональный Поэтому, для каждого устойчивого (т.е. периодического) решения ускорение должно быть отрицательным при расширении и положительным при сжатии Условия, при которых выполняется этот критерий устойчивости, легко вывести, изобразив при данном параметре вращения нули функции на плоскости Этот способ (принадлежащий Пуанкаре) иллюстрируется на рис. 14.2 и 14.3. Физическая картина станет еще яснее, если изобразить зависимость потенциала от при данных значениях (рис. 14.4 и 14.5).

На рис. 14.2 легко видеть, что в отсутствие вращения устойчивые движения существуют только при а неустойчивые движения — только при В этом случае положение равновесия соответствует абсолютному минимуму (для устойчивых движений) или максимуму (для неустойчивых движений) потенциала При смещение линейно зависит от времени, поскольку ускорение тождественно равно нулю;

(кликните для просмотра скана)

поэтому, если только начальная скорость не равна тождественно нулю, пограничное состояние, соответствующее всегда неустойчиво. Этот результат принадлежит Леду.

Если учесть медленное вращение, то эти выводы существенно изменятся. В самом деле, на рис. 14.3 ясно видно, что нули функции лежат теперь на линии и на кривой, асимптотически приближающейся к Их точка пересечения, разумеется, определяет критический показатель адиабаты полученный из линейного анализа устойчивости [см. формулу (2)]. Таким образом, в общем случае мы должны различать три возможности:

1) . Все движения устойчивы, так как состояние равновесия соответствует абсолютному минимуму потенциала (рис. 14.4, кривая а). Следовательно, независимо от знака и величины медленно вращающееся тело будет всегда колебаться относительно среднего положения .

2) Система метастабильна, т.е. движения с растущей амплитудой возникают, как только энергия, запасенная в пульсациях, становится слишком большой. Другими словами, чтобы имели место колебательные движения, наибольшее значение за цикл, скажем должно оставаться меньше критической амплитуды, скажем которая зависит от значений (рис. 14.3). Этот случай также иллюстрируется на рис.

14.4 (кривая б). Потенциал имеет теперь два экстремума, т.е. при Таким образом, если таковы, что становится в точности равным то вращающаяся система стремится к новому положению равновесия. Это (неустойчивое) пограничное состояние показано на рис. 14.6 и 14.7 штриховой линией; оно четко отделяет колебательные движения от движений с расширением.

3) Конфигурация абсолютно неустойчива (рис. 14.4, кривые в и г). При равновесное состояние соответствует точке перегиба потенциала Поэтому любое начальное возмущение будет неизбежно расти со временем. При потенциал имеет два экстремума, скажем при и при На первый взгляд ситуация кажется очень похожей на случай 2; однако при любой начальной скорости медленно вращаг ющееся тело будет теперь становиться неустойчивым, поскольку положение является относительным максимумом потенциала (В случае относительный минимум!) Кроме того, из закона сохранения энергии следует, что в конечном счете все эти неустойчивости всегда связаны с движениями расширения.

Итак, хотя линейный анализ устойчивости предсказывает критическое значение которое четко отделяет устойчивые относительно псевдорадиальных возмущений конфигурации от неустойчивых, в случае колебаний конечной амплитуды такого ясного разделения нет. Иными словами, в диапазоне устойчивость зависит от значений а также от количества энергии, запасенной в псевдорадиальных движениях. Это, в сущности, и есть результат, проиллюстрированный на рис. 14.3 — 14.7. Следует, однако, иметь в виду, что примеры, приведенные на рис.

(кликните для просмотра скана)

14.4 — 14.7, соответствуют таким значениям показателя адиабаты у и параметра вращения при которых критическая амплитуда колебаний составляет 20% от среднего радиуса медленно вращающейся конфигурации Если при данном взять у, едва превышающее то будет лишь немного превосходить единицу (рис. 14.3), что позволило бы расти начальным возмущениям с физически малыми амплитудами (и это несмотря на то, что линейный анализ предсказывает устойчивые псевдорадиальные движения в медленно вращающемся теле!). Иначе говоря, хотя формула (2) определяет предел устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям, этим пределом нельзя пользоваться в нелинейном режиме, даже если допускаются лишь начальные движения с малыми, но конечными амплитудами.

Постньютоновский случай

В приведенных выше рассуждениях отчетливо выявилось различие между устойчивостью относительно бесконечно малых возмущений (т.е. движений, малых в математическом смысле) и устойчивостью относительно возмущений с малыми, но конечными амплитудами (т.е. движений, которые малы в физическом смысле). Согласно формуле (4), противоположные эффекты вращения и общей теории относительности начинают играть первостепенную роль в конфигурациях, в которых показатель адиабаты у очень близок к Следовательно, поскольку в случае движений с конечной амплитудой стабилизирующее воздействие вращения уменьшается, мы должны оценить, как эти движения влияют на предел устойчивости (4). Мы снова применим скалярную теорему вириала и формулы (8) — (12) и получим приближенное описание псевдорадиальных колебаний медленно вращающейся звезды в рамках общей теории относительности. Однако для простоты мы ограничимся случаем медленно вращающихся однородных тел, для которых радиус Шварцшильда составляет лишь небольшую долю среднего радиуса т.е. конфигурациями, для которых можно пренебречь всеми членами порядка и оставить только величины порядка

На рис. 14.8 и 14.9 показано поведение невращающейся конфигурации. В отличие от ньютоновского случая для сферического тела, нули ускорения лежат теперь на линии и кривой с вертикальной асимптотой (ср. с рис. 14.2); точка их пересечения соответствует критическому значению определенному выражением (3). Сразу же видно, что при все движения определенно неустойчивы; однако неустойчивость может возникать и в диапазоне если амплитуды начальных возмущений становятся слишком большими. Здесь мы снова имеем дело со случаем метастабильности.

Рис. 14.10 — 14.15 иллюстрируют противоположное действие вращения и эффектов общей теории относительности. Если преобладают последние, то ясно, что как при отсутствии вращения, отделяет устойчивые движения от метастабильных. Если же допустить достаточно большое

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 14.14. Потенциал медленно вращающегося сфероида Обозначения те же, что на рис. 14.9; см. рис. Пояснения те же, что к рис.

Рис. 14.15. Потенциал медленно вращающегося сфероида Обозначения те же, что на рис. 14.9; см. рис. Кривая а аналогична кривой ее второй экстремум находится далеко за рамкой рисунка. Кривая имеет абсолютный минимум при

увеличение скорости вращения, то становится меньше (см. рис. 14.12 и 14.15); это существенно меняет всю картину, полученную из линейного анализа устойчивости! Как и в ньютоновском случае мы должны теперь различать три возможности:

1) конфигурация всегда неустойчива по отношению к псевдорадиальным движениям;

2) медленно вращающееся тело становится метастабильным, несмотря на то что линейный анализ предсказывает лишь устойчивые псевдорадиальные движения;

3) , конфигурация полностью устойчива.

Таким образом, хотя противоположное влияние вращения и эффектов общей теории относительности очевидно уже при линейном анализе устойчивости, допущение о движениях с конечной амплитудой меняет всю ситуацию. В частности, стабилизирующая роль вращения значительно уменьшается. Для безусловной устойчивости по отношению к псевдорадиальным колебаниям с конечной амплитудой теперь обязательны два

требования: Для моделей политроп последнее условие можно переписать в виде

где зависит от показателя политропы Следовательно, даже при если условие (34) не выполнено, нужно быть очень осторожным, поскольку фактическое поведение метастабильной звезды зависит главным образом от количества энергии, запасенной в псевдорадиальных колебаниях. Подробное изучение этой проблемы строго в рамках общей теории относительности представило бы большой интерес.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление