Главная > Математика > Теория пересечений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 13. Рациональность

Резюме

Тонкие произведения-пересечения можно использовать для доказательства существования решений алгебраических уравнений либо в данном основном поле К, либо в его расширениях ограниченных степеней.

Предположим, что подмногообразия полного неособого многообразия Согласно нашей конструкции, цикл пересечения представляется -циклом на Поэтому существуют точки на и целые числа такие, что

Например, если и правая часть нечетна, должно содержать вещественные точки. Если некоторая часть класса пересечения известна, аналогичные заключения выполняются для остатка. Каждая изолированная точка пересечения входит в с коэффициентом, равным кратности пересечения в При подходящих предположениях положительности на касательное расслоение X коэффициенты все могут быть неотрицательными, даже если пересечение несобственное.

Обозначения. Пусть полная схема, т. е. собственна над основным полем есть -цикл на Тогда степень — это сумма

где поле вычетов кольца степень расширения полей. Рационально эквивалентные -циклы имеют одинаковую степень (§ 1.4).

Например, если поле вещественных чисел (или произвольное вещественно замкнутое поле), то для вещественной точки для комплексной точки и

В частности, если нечетна, то должна содержать вещественные точки.

Пусть регулярное вложение коразмерности чисто -мерная подсхема в Пусть ограничение на нормальный конус к и его цикл на Напомним, что подмногообразие в является отмеченным, если оно — носитель неприводимой компоненты С, конуса С. Для каждого отмеченного многообразия положим

здесь нулевое сечение. Поэтому — каноническое разложение Если схема полная, то

Знание позволяет иногда получать существование точек на отмеченных многообразиях. Результаты гл. 7 и 12 можно использовать для ограничения возможностей для

Чтобы применить это к пересечению равноразмерных подсхем гладкого многообразия X над К, образуем произведение-пересечение путем пересечения декартова произведения схем с диагональю:

Предложение 13. Предположим, что полное. Пусть каноническое разложение произведения-пересечения, где суммирование производится по отмеченным многообразиям Если изолированная точка в то

(b) Если ограничение касательного расслоения на порождается своими сечениями, то представляется неотрицательным циклом.

Доказательство. Заметим, что изолированная точка в является собственной компонентой этого пересечения. Поэтому (а) доказано в § 7.1. Пункт (b) есть частный случай следствия 12.2

Следующее утверждение достаточно для большинства приложений.

Следствие 13.1. Пусть различные изолированные точки в кратность пересечения в

На других компонентах найдутся точки и целые числа такие, что

(b) Если порождается сечениями, можно считать, что

Поле К называется -полем, где простое число, если каждое его конечное расширение имеет степень, равную степени Например, поле вещественных чисел или любое вещественно замкнутое поле является -полем.

Следствие 13.2. Пусть различные -рациональные точки, изолированные в и К является -полем. Если

то содержит дополнительные -рациональные точки.

В частности, должно содержать -рациональные точки, если не делится на Следствие 13.2 вытекает из следствия так как при рассмотрении по модулю можно игнорировать все точки, не являющиеся -рациональными.

Замечание 13.1. Аналогичные заключения можно получить в других ситуациях, где имеются классы циклов на интересующих нас множествах, таких, как остаточные схемы (ср. пример 13.11), множество двойных точек (§ 9.3), множество вырождений (§ 14).

Замечание 13.2. Читатель, привыкший к геометрии над алгебраически замкнутым полем, может работать прямо с многообразием

(или схемой) над алгебраическим замыканием К поля К. Главное тут в том, что если многообразия определены над К, то классы пересечения и вклады отмеченных многообразий представляются -циклами, которые рациональны над на рационален над К, если каждая точка, сопряженная над К с точкой входит в цикл с тем же коэффициентом, что и кроме того, если поле К несовершенно, каждый коэффициент должен делить соответствующую степень несепарабельности.)

Пример 13.1. Пусть К есть -поле.

(a) Пусть подсхема в содержащая -цикл а, степень которого не делится на Тогда имеет -рациональную точку. (Если это очевидно. Если то представляется -циклом той же степени.)

(b) Пусть равноразмерные подсхемы в не делится на Тогда имеет -рациональную точку. (Применим к представителю класса

1]). Пусть однородные многочлены из степеней, взаимно простых с Тогда существует ненулевое решение системы уравнений

где

В частности (ср. [Behrend 1], [Lang 1]), если или вещественно замкнуто, форм нечетной степени от переменных должны иметь общее ненулевое вещественное решение.

Пример 13.2. Пусть К есть -поле.

(a) Пусть подсхема в содержащая цикл, некоторая бистепень которого не делится на Тогда имеет -рациональную точку. (Если в обозначениях примера 8.4.2 а то представляется -циклом на степени .)

(b) Пусть равноразмерные подсхемы в и некоторая бистепень не делится на Тогда имеет -рациональную точку.

Аналогичные утверждения верны для произвольных мультипроективных пространств.

Пример 13.3 ([Behrend 1]). Пусть или К вещественно замкнуто. Пусть биоднородные многочлены из нечетных бистепеней. Если биномиальные коэффициенты

нечетны для некоторого то существуют вещественные решения системы

В частности, если не является степенью

2, то существуют нетривиальные решения. (С коэффициентами по модулю 2 класс пересечения соответствующих гиперповерхностей в конгруэнтен

где суммирование происходит по Если степень

Пример 13.4. Пусть К есть -поле. Предположим, что имеется билинейное отображение

конечномерных векторных пространств над К без делителей нуля, т. е. влечет за собой или у - 0. Если размерности то делит для всех

В частности, если эти три размерности равны, они должны быть степенью

Отсюда следует, что если К — вещественно замкнутое поле, то билинейная форма должна иметь делители нуля, за исключением случаев, когда степень двойки. ; для более ранние топологические доказательства были даны Штифелем и Уитни.) Если то на самом деле должно быть равно 1, 2, 4 или 8; однако известные доказательства используют топологию, (В базисах задается многочленами бистепени Рассуждаем, как в примере 13.3.)

Пример 13.5. Произвольный многочлен однозначно представляется в виде однородный многочлен степени Ненулевой член минимальной степени называется начальной формой многочлена а его степень — начальной степенью. Ненулевой член максимальной степени можно называть конечной формой

Пусть многочлены из не все однородные. Предположим, что начальные формы этих многочленов не имеют общих ненулевых решений в алгебраическом замыкании К поля и то

же верно для конечных форм. Тогда система уравнений

имеет ненулевые решения с

Здесь начальные степени — положительные целые числа. (Для многочлена степени d пусть однородная форма степени Тогда гиперповерхностей, заданных уравнениями не имеют общих нулей на гиперплоскости Кратность пересечения гиперповерхностей в точке равна согласно теореме 12.5. Применяем следствие 13.1.)

Например, если К вещественно и с; нечетно, должно существовать ненулевое вещественное решение.

Пример 13.6. Может случиться, что вещественных многочленов от переменных имеют конечное число вещественных решений, большее, чем произведение степеней. Пусть и

Тогда имеется вещественных решений, хотя Можно также положить и получить аналогичный пример с алгебраически независимыми В любом таком примере некоторые из вещественных решений должны лежать на многообразии комплексных решений положительной размерности.

Возможны ли такие примеры, когда все имеют одинаковую степень? Существуют оценки сверху для суммы чисел Бетти таких многообразий (ср. [Milnor 2]); вопрос о сумме чисел Бетти все еще открыт.

Пример 13.7. Пусть X — полное -мерное многообразие и дивизоры Картье на Существуют точки лежащие в пересечении носителей этих дивизоров, и целые числа такие, что

Пример 13.8. Пусть вещественные гиперповерхности в Предположим, что неособая кривая степени d

является схемной компонентой Тогда должно содержать вещественные точки вне если

(Надо использовать пример 9.1.1.)

Пример 13.9. Алгебраический вариант теоремы Борсука — Улама ({Arason - Pfister 1], ср. [Knebusch 2]).

(a) Пусть нечетные многочлены, т. е. вещественно замкнутое поле. Пусть

Тогда существует точка (Запишем нечетный многочлен в виде однородные многочлены нечетной степени Если введем форму

Согласно примеру формы должны иметь нетривиальное общее решение Положим где

(b) Для любых существуют точки для (Применим (а) к нечетной части

Если отсюда следует топологическая теорема Борсука—Улама. (Приблизим заданные непрерывные функции на многочленами и применим

Пример 13.10. Пусть X — неособое многообразие над такое, что Тогда X должно иметь вещественные точки. (Так как

нечетно, X имеет нечетный -цикл.) Поэтому X изоморфно (ср. [Serre 6], с. 168).

Пример 13.11. Рассмотрим ситуацию остаточного пересечения, как в определении 9.2.2, предполагая дополнительно, что полно и Тогда существуют точки в остаточном множестве и целые числа такие, что

Пример 13.12. Пусть конечное расширение К. Для схемы X над К расширение базы

есть схема над Существует канонический морфизм который является конечным и плоским степени Композиция

есть умножение на (ср. пример 1.7.4)

Пример 13.13 ([Colliot-Thelene - Ischebeck 1]). Пусть X — полная -схема, а ее комплексификация. Предположим, что пространство вещественных точек схемы X имеет 5 связных компонент.

(a) Существует точная последовательность

где переводит -цикл в вектор, компонентами которого являются суммы по модулю 2 коэффициентов точек на соответствующей компоненте (Достаточно проверить это в случае гладкой кривой X над в этом случае точность дается теоремой Витта, ср. [Knebusch 1], с. 70.)

(b) Существуют -циклы степени которые рационально не эквивалентны никакому положительному -циклу на (Выберем точку на компоненте Затем возьмем -цикл

Если то наибольшая делимая подгруппа в (Используем примеры 13.12 и 1.6.6.)

(d) Если любые две точки на можно соединить цепочкой рациональных кривых (например, если унирационально), то

Две точки из рационально эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одной связной компоненте (Используем пример 10.1.6.)

Используя результаты Кнебуша и Делфса, Кольо-Телен и Ишебек ([Colliot-Thelene, Ischebeck 1]) доказали аналогичные результаты для произвольных вещественно замкнутых полей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление