Главная > Разное > Техническая оптика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 72. Анаберрационные поверхности

В § 20 было показано, что любая сферическая преломляющая поверхность в случае, когда предметная точка расположена в бесконечности, оказывается не свободной от сферической аберрации.

Обращаясь к поверхности несферической формы, можно поставить задачу устранения сферической аберрации для такого расположения предметной точки за счет подбора соответствующего профиля несферической поверхности.

На рис. 14.3 представлен ход луча через такую несферическую поверхность.

Совмещая начало координат с вершиной поверхности и обращаясь к принципу Ферма, согласно которому оптическая длина хода должна быть одинаковой для всех лучей:

для нашего случая можно написать

Рис. 14.3. К определению формы анаберрационной поверхности

Роль отрезка вдоль оси будет играть отрезок роль отрезка — отрезок и роль отрезка V — гипотенуза треугольника с катетами, равными у и Тогда можно переписать формулу (14.42) в следующем

Перенося член в правую часть, деля на и возводя в квадрат, находим

Решая это уравнение относительно

приводим его к уравнению кривой второго порядка, отнесенному к вершине:

Но коэффициент при в первой степени есть не что иное, как удвоенная величина радиуса кривизны в вершине кривой. Поэтому

Очевидно, что коэффициент при будет получаться положительным при (гиперболический профиль) и отрицательным при (профиль эллиптической формы).

В частном случае отражения, когда показатели будут равны по величине и обратны по знаку, придем к профилю параболической формы — параболическому зеркалу.

Определим сферическую аберрацию для линзы с параболической поверхностью.

На рис. 14.4 показано преломление луча, идущего параллельно оси на высоте на параболической поверхности.

Обозначим углы падения и преломления через и угол нормали с осью через сагиттальный радиус кривизны через и выходной апертурный угол через

Рис. 14.4. К определению сферической аберрации у параболической поверхности

Опустим из точки С пересечения нормали с осью перпендикуляр на преломленный луч тогда можно написать

Дифференцируя уравнение параболы, получаем, пользуясь формулами (14.25) и

С другой стороны,

откуда

В соответствии с (14.52) формула (14.48) преобразуется:

Теперь нетрудно найти величину отрезка

Так как отношение будет равно

то

Полагая углы равными нулю, получаем отрезок для нулевого луча

и, составляя разность отрезков находим величину сферической аберрации

Опуская довольно громоздкие преобразования, получаем следующее выражение для сферической аберрации параболической преломляющей поверхности:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление