4. Структура поля в НЩЛ.
Расчет полей в волноведущих структурах представляет более сложную задачу, чем нахождение собственных чисел
Это связано с тем, что система интегральных уравнений (1) является некорректной, вследствие чего в (10) матрица
в некоторых случаях плохо обусловлена. В настоящее время отсутствует универсальный метод борьбы с этим явлением [88, 89]. Поэтому чаще всего прибегают к подбору базиса, обладающего, например, свойством минимальности [85], выбору метода решения
а также, где возможно, устранению плохой обусловленности формы записи элементов матрицы
Итак, рассмотрим однородную
Для решения ее один из неизвестных коэффициентов приравняем, например, к единице и соответствующий столбец вынесем в правую часть. Будем иметь прямоугольную систему линейных алгебраических уравнений:
Здесь
матрица-столбец неизвестных коэффициентов,
прямоугольная матрица,
свободные члены. Учитывая некорректность поставленной задачи, будем искать такое решение, которое минимизирует квадрат невязки (12). Это приводит к необходимости
решения следующей СЛАУ [88, 89]:
Однако учитывая, что обусловленность (13) значительно хуже обусловленности (12), будем решать (12) методом сингулярного разложении матрицы
Преимущество такого подхода состоит в возможности находить решения, минимизирующие квадрат невязки, без использования плохо обусловленной системы (13). Кроме того, в отличие от метода Гаусса, в процессе решения не меняются спектральные свойства матрицы
т. е. не ухудшается ее исходная обусловленность [90, 91].
Результаты расчета распределения полей в НЩЛ изображены на рис. 1.21. Видно, что наличие некомпланарно расположенных ребер в случае разнесенных слоев металла существенно влияет на распределение магнитного тока на поверхности диэлектрика.
Рис. 1.21. Распределение плотности продольного
и поперечного
магнитных токов в НЩЛ при
Стрелками отмечены координаты ребер
Установлено, что вблизи ребер существуют некоторые колебания магнитного тока, имеющие, по-видимому, дифракционную природу, вследствие чего существует хорошая обусловленность матрицы
а ее элементы, представляющие собой тригонометрические ряды, имеют асимптотику
поэтому решение
для основной волны практически не зависит от предела суммирования
начиная с
Проведенные эксперименты по исследованию сходимости алгоритма по полю показали, что влияние ошибок округления начинает
сказываться лишь при порядках решаемой
Это связано в основном с возрастанием погрешностей счета тригонометрических функций малого аргумента, пропорционального шагу сетки, и возрастанием числа обусловленности СЛАУ (монотонным с увеличением порядка
Таким образом, машинные эксперименты по исследованию собственных волн в НЩЛ показали перспективность использования кусочно-определенных функций, обеспечивающих хорошую сходимость алгоритма и его устойчивость. Дальнейшее улучшение свойств решения возможно за счет использования полиномов старших степеней, учетом особенности на ребре и т. д.
Реализованная программа анализа собственных волн НЩЛ является основой для разработки алгоритмов проектирования перспективных элементов ОИС СВЧ.