Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.3. Силы и моменты. Уравнения движения

Действующим в поперечном сечении стержня напряжениям отвечают главный вектор и главный момент (рис. 15.2)

Согласно соотношениям (2.36), (2.37), (6.55), (15.3) и

А по

Будем считать, что координатные оси поперечного сечения являются центральными главными, так что

где площадь, главные моменты инерции недеформированного поперечного сечения.

Рис. 15.2

Рис. 15.3

Для получения возможно более простой связи между усилиями-моментами и компонентами деформации оси стержня опустим в (15.39) и (15.40) подчеркнутые члены, малые для тонкого стержня. Подставляя упрощенные выражения в (15.38), получаем с учетом (15.13) и (15.41)

Выписанные величины являются Компонентами векторов сил и моментов

Входящие сюда перерезывающие силы непосредственно с деформацией стержня не связаны и являются чисто силовыми (статическими) величинами. Объясняется это тем, что отвечающие им напряжения о, о в силу наложенных геометрической гипотезой Кирхгофа внутренних связей (сохранение прямых углов на оси стержня) определяются с точностью до произвольных функций (см. параграф 3.3).

Рассмотрим условия равновесия части деформированного стержня, ограниченного смежными сечениями Из рис. 15.3 следует, что на выделенную часть действует сила

Сюда надо добавить вектор внешних сил

Приравнивая нулю сумму этих сил, приходим к условию равенства нулю главного вектора всех сил, действующих на выделенный элемент стержня:

Аналогично подсчитывается главный момент (относительно точки О на рис. 15.3) сил и моментов:

Добавляя сюда вектор момента внешних сил

и приравнивая нулю сумму, приходим к условию равенства нулю главного момента всех сил и моментов:

Используя в дальнейшем обозначения запишем векторные уравнения движения (равновесия) в виде

Используя же формулы (15.43) и (10.3), получаем отсюда систему скалярных уравнений движения (равновесия)

Нетрудно видеть, что силы инерции представляются векторами

Используя же соотношения (15.42), (15.13) и принимая, с учетом (15.8) и (15.9), для кратности изменения объема упрощенное выражение получаем для основного напряжения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление