Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.2. Закон упругости

Для сжимаемого материала примем в соответствии с (10.8) следующие представления:

где

Подстановка выражений (15.13) в упругий закон (6.62) дает

Отсюда и из (15.11) находим

Примем статическую гипотезу Кирхгофа, согласно которой напряжения на продольных (параллельных оси) сечениях стержня значительно меньше нормального напряжения на поперечном сечении. При нашем подходе гипотеза сводится к девяти приближенным равенствам:

Первые три согласно (15.15а) записываются в виде

С учетом (15.14) и (15.11) усматривается, что последнее равенство удовлетворяется тождественно, а второе совпадает с первым. Таким образом, существенным является лишь одно равенство, определяющее X:

С учетом выражений (15.16) оставшиеся в (15.17) шесть уравнений дают

Отсюда и из (15.11) следует, в частности, что

Таким образом, материальные координаты на деформированном поперечном сечении ортогональны везде, а не только на оси, как предполагалось вначале.

Используя оставшиеся в (15.15) и (15.16) соотношения, находим с учетом (15.14)

Перейдем в полученных соотношениях к упругому потенциалу, рассматриваемому как функция от Прежде всего из (6.65), (15.11) и (15.14) находим, выписывая лишь отличные от нуля производные,

(см. скан)

Для стандартного материала второго порядка согласно (3.44), (3.35) и (15.9)

Отсюда и из (15.26), (15.27) находим

Рассмотрим несжимаемый материал, добавляя к представлениям (15.13) следующие:

Из них прежде всего вытекает

Как было установлено в параграфе 6.4, при переходе к несжимаемому материалу можно использовать соответствующие зависимости сжимаемого материала, производят в них замены (6.76). Так, из соотношения (15.15а) получаем с учетом первого из равенств (15.17), (15.7), первого из соотношений (15.12), (15.24), (15.30)

Используя отвечающие соотношения (15.16), находим из (15.17), (15.11) и в силу того, что отсутствующие в (15.21) производные равны нулю, При этом из (15.12) следует

Теперь из тех же соотношений

Из оставшихся зависимостей (15.16) находим [с учетом все той же замены (6.76)]

Для трехконстантного потенциала (5.29)

соотношения (15.31) дают

Нетрудно проверить, что подчеркнутые члены вносят для тонкого стержня значительно меньший вклад, чем аналогичные члены, входящие в (15.34). Опуская их, получаем

Наконец, из оставшихся в (15.32) соотношений находим

Для неогуковского материала

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление