Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 15. ТОНКИЕ СТЕРЖНИ

В этой главе изложена общая теория тонких сплошных (кирхгофовских) стержней. В основу последней положены модифицированные гипотезы Кирхгофа, аналогичные использованным в гл. 11 при построении теории оболочек. Полученные соотношения пригодны для описания больших деформаций. Выведены условия сопряжения края оболочки с подкрепляющим ее стержнем.

Рис. 15.1

15.1. Деформация тонкого стержня

Рассмотрим тонкий стержень [см. (10.8)] сплошного сечения. Пусть (рис. 15.1)

(см. скан)

радиусы-векторы материальной точки стержня до и после деформации, материальные прямоугольные декартовы координаты на поперечном сечении недеформироварнного стержня, радиусы-векторы материальной точки оси стержня, текущая длина недеформированной оси, координатные векторы.

Используя формулы (10.3), (10.4), (10.8), (6.5), имеем по (15.1)

Напомним, что здесь

единичный вектор касательной к оси недеформированного стержня. Принимая во внимание, что

где кратность удлинения оси стержня, находим из соотношений (15.2), (6.5), (10.3), (10.4) с учетом (10.8)

Отсюда и из (15.3), (6.9) получаем

Подставляя данные выражения (в (6.65), приходим к следующим значениям для главных инвариантов тензора деформации Коши:

где

Нетрудно проверить, что принятие вместо (15.7) приближенных выражений

приводит к выпадению в (15.8) лишь малых [в силу (10.8)] подчеркнутых членов. Таким образом, принятие приближенных выражений (15.11) практически не меняет главные инварианты, а значит, и энергию деформации стержня. Это и оправдывает использование в дальнейшем выражений (15.11).

Из (15.8в) и (15.9) следует, что условие несжимаемости материала приводит к соотношениям

Соотношения (15.1)-(15.2) представляют собой математическую запись обобщенной геометрической гипотезы Кирхгофа (гипотезы плоских сечений). Принятое обобщение позволяет учесть деформационное изменение размеров поперечного сечения стержня как вследствие его равномерного растяжения так и изгиба При этом, как и в изложенной в гл. 11 теории оболочек, введение указанных параметров не увеличивает порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление