Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Напряжения. Уравнения движения

Из деформированного тела мысленно вырежем часть У, ограниченную поверхностью Обозначим через его плотность. Баланс количества движения выделенной части тела записывается так:

где интенсивность действующей на выделенный объем массовой силы; вектор интенсивности поверхностной нагрузки, действующей через поверхность и являющейся функцией двух векторов: радиуса-вектора точки на и единичного вектора внешней нормали к ней Вектор называют вектором напряжения. Вектор напряжения, представляющий возникающие вследствие деформации внутренние силы, имеет свойство

являющееся по существу записью закона Ньютона.

Поскольку элемент массы, интеграл в правой части интегрального равенства (2.28) — это скорость изменения количества движения выделенного материального объема. Левая же часть (2.28) является главным вектором массовых и поверхностных сил, приложенных к тому же объему. Равенство обеих частей и есть баланс количества движения. Другими словами, действующие на выделенную часть тела внешние силы уравновешиваются силами инерции в случае движения или равны нулю при равновесии.

Равенство (2.28) должно выполняться для любого материального объема. Применим его к элементарному тетраэдру (рис. 2.3). Поскольку

объемными интегралами, имеющими третий порядок малости, можно пренебречь по сравнению с поверхностным второго порядка малости. В результате приходим к равенству

Используя равенства (2.29) и (2.21), записанные для деформированной конфигурации, получаем

Представим веторы разложениями

и запишем их в виде

где

так называемый тензор истинных напряжений Коши или просто тензор напряжений. Знание его позволяет определить вектор напряжений на площадке любой ориентации.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Действительно, подставляя (2.31)-(2.32) в (2.30), находим

Используя соотношения (2.31) и (2.29), покажем на элементарном прямоугольном параллелепипеде (рис. 2.4) положительные направления компонент тензора напряжений. Из рисунка ясно, почему компоненты с одинаковыми индексами называют нормальными напряжениями, а с разными — тангенциальными напряжениями.

Подсчитаем главный момент приложенных к рассматриваемому параллелепипеду поверхностных сил относительно оси,

проходящей через центр параллелепипеда параллельно оси

Поскольку главный момент должен равняться нулю, отсюда следует первое условие симметричности тензора напряжений

Остальные выводятся аналогично.

Вернемся к соотношению (2.28). Согласно (2.34) и (2.27) поверхностный интеграл в нем можно записать так:

Если ввести вектор напряжений в расчете на единицу исходной недеформированной материальной частицы

то, очевидно,

Сопоставление последнего равенства с (2.35) дает

Несимметричный тензор называют номинальным тензором напряжений, сопряженный с ним тензор первым (несимметричным) тензором Пиала — Кирхгофа, а тензором напряжений Кирхгофа.

Получим уравнения движения материальной частицы. Согласно (2.34) и (2.27)

Подставляя это выражение в (2.28), получаем с учетом произвольности объема и соотношений (2.33), (2.25) уравнения движения в деформированной конфигурации тела

Пусть плотность материала в недеформированной конфигурации. Для материальной частицы существует закон сохранения массы

констатирующий сохранение массы деформируемой материальной частицы. Из него и (2.19) следует другая форма записи закона сохранения массы:

Вернемся к равенству (2.28). Из (2.35) и (2.27) следует

Подставляя это выражение, а также (2.40) в (2.28), получаем с учетом (2.24) и произвольности объема уравнения движения в недефоржированной конфигурации

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление