Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Основные деформационные соотношения

Получим необходимые в дальнейшем геометрические зависимости. Прежде всего вдоль главной оси тензора деформации согласно (2.5), (2.6), (2.8), (2.11) и (1.1)

Обозначим

Объемы материальной частицы до и после деформации находим с учетом (2.18):

Отсюда и следует выражение для кратности изменения объема

Рис. 2.2

Рассмотрим элементарный тетраэдр вырезанный из недеформированного тела (рис. 2.2) с гранями, проходящими через главные оси деформации. Обозначая через площади его граней, через площадь основания, а через единичный вектор нормали к основанию, находим

т. е.

Пусть соответствующие величины в деформированном тетраэдре. Очевидно, для него можно использовать

соотношение (2.20), произведя в нем замену согласно (2.18):

В результате получаем

Согласно же (2.6), (2.15), (1.18)

Отсюда и из (2.21), (2.22) следует равенство

известное в зарубежной литературе как теорема Нансона.

Пусть часть тела и окружающая ее поверхность до деформации, а после деформации. Соотношения (2.19), (2.23) позволяют переходить от интегрирования по деформированному объему и поверхности к интегрированию по исходным, недеформированным. Так, для произвольной функции

Введем в рассмотрение набла-векторы

связанные согласно (2.4) соотношениями

Известные формулы Гаусса — Остроградского

после умножения на постоянный вектор и суммирования по принимают с учетом (2.25) следующий вид:

Напомним, что произвольная величина. Если же тензор, то, производя под знаком интеграла операцию скалярного умножения, получаем с учетом (2.23)

Согласно правилу подсчета определителя произведения матриц и соотношениям (2.6) и (1.11) имеем

Отсюда и из (2.4) следуют полезные равенства

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление