Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.4. Уравнения движения

Рассмотрим условия равновесия элемента деформированной срединной поверхности, ограниченного координатными линиями Для этого подсчитаем главный вектор и главный момент приложенных к нему усилий, моментов и внешних сил. Напомним, что введенные выше усилия и моменты отнесены к единице длины недеформированного контура. При этом согласно (10.47), (10.48), (10.26) на линии

Рис. 11.3

Поэтому согласно (10.48) и (10.49) на пару сторон элемента действуют силы (рис. 11.3)

Добавим сюда аналогичные слагаемые для другой пары сторон и поверхностную силу где интенсивность поверхностной нагрузки в расчете на единицу площади деформированной срединной поверхности. В результате имеем, приравнивая нулю полученный главный вектор,

Составляя выражение для главного момента, получаем прежде всего аналогичные слагаемые

К ним необходимо добавить момент, создаваемый парами сил (см. рис. 11.3):

Приравнивая нулю сумму полученных слагаемых, приходим к условию равенства нулю главного момента:

В это уравнение следовало бы включить и поверхностный момент Обычно он мал, и мы его опускаем. После сокращения в соотношениях (11.53), 11.54) множителя получаем векторные уравнения движения (равновесия)

С помощью соотношений (11.31), (10.27), (10.30) получаем отсюда систему пяти уравнений движения (равновесия):

Отметим, что при выводе двух последних уравнений было использовано полученное с учетом (10.26), (10.32) равенство

Шестое уравнение приводится к виду

В силу выражений (11.34)-(11.36) оно выполняется тождественно.

С учетом соотношений (10.36) уравнения движения (11.56) можно записать и так:

Используя соотношения (10.30), (10.24), (10.36), получаем

Отсюда и из последних уравнений (11.57) находим

Подставляя полученные выражения в первое из уравнений (11.55), приходим к двум равносильным формам записи векторного уравнения движения (равновесия) с исключенными перерезывающими усилиями:

Практически наиболее важным видом поверхностной нагрузки является нормальное давление

Перейдем к силам инерции. С учетом равенства (2.39) в элементе объема деформированного тела им отвечает главный вектор

В расчете на единицу площади деформированной срединной поверхности

Для тонкой оболочки, как и выше, подчеркнутый член можно заменить на 1. Пренебрегая также изменяемостью по толщине получаем с учетом (11.1) и (11.9) упрощенное выражение для сил инерции

К уравнениям движения добавим силовые (статические) граничные условия

следующие из соотношений (11.41), (11.44), (11.58). Здесь кирхгофовские краевые усилия и изгибающий момент — заданные функции дуги недеформированного контура.

Умножая первые три уравнения соответственно на и суммируя их, получаем с учетом соотношений (10.50), (10.57) и (11.46)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление