Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Полярное разбиение тензора

Выявим структуру тензора. Прежде всего по (1.17)

т. е. тензор симметричен. А тогда, как было показано в предыдущем параграфе,

где — вещественные главные значения; а — главные векторы тензора

Отсюда и из (1.18)

Но (1.47)

Сопоставление двух последних выражений показывает, что все главные значения тензора неотрицательны.

Ограничимся рассмотрением невырожденных тензоров, для которых, как уже говорилось выше, По (1.11) и хорошо известным свойствам определителей

Но тогда из характеристического уравнения (1.15), записанного для тензора

следует, что Выше была установлена неотрицательность Стало быть,

Пусть симметричный тензор, для которого

Для него

и сопоставление с (1.47) дает

Таким образом, симметричный тензор с положительными главными значениями. Такие тензоры называют иногда положительно-определенными

Имеется следующее предложение: произвольный невырожденный тензор с вещественными компонентами представим в виде так называемого полярного разложения:

где положительно-определенный, ортогональный тензор.

Действительно, при определенном выражением (1.49), равенству (1.50), очевидно, удовлетворяет тензор Остается убедиться, что при этом последний ортогонален. Из (1.49) и (1.36)

Но (1.17)

и предложение доказано. Из доказательства усматривается и единственность полярного разложения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление