Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.5. Вариационное начало Лагранжа

Вариационным началом (уравнением) Лагранжа назовем следующее интегральное равенство:

Под вариацией вектора смещения

будем понимать произвольную гладкую геометрически допустимую, т. е. удовлетворяющую условию

малую функцию.

В (6.77) - отвечающая вариация упругого потенциала. При этом согласно (6.62), (6.52), (6.53) с учетом малости

вариаций и симметричности компонент тензора напряжений

Согласно соотношениям (6.34), (6.78)

С учетом этого выражения, а также (6.79), (6.80), (6.6), (2.27), (6.56)

Подстановка полученного выражения в (6.77) приводит ко второй форме записи вариационного уравнения Лагранжа:

Ее равносильность с уравнениями равновесия и статическими граничными условиями (6.57) следует из произвольности

Нами был рассмотрен сжимаемый материал. В случае же несжимаемого материала вектор уже не является произвольным, будучи связанным условием несжимаемости. Получим эту связь. Варьируя для этого условие несжимаемости записанное в виде находим с учетом (6.71), (6.52), (6.53)

Таким образом, искомая связь имеет вид

Вариационное уравнение (6.77) заменим следующим:

Здесь множитель Лагранжа — произвольная функция, механический смысл которой тот же самый, что и в упругом законе (6.63), — всестороннее давление. С учетом соотношений (6.63) и (6.81) имеем

Сопоставление полученного выражения с (6.80) показывает, что вторая форма записи вариационного уравнения для несжимаемого материала имеет вид

В силу произвольности отсюда следует и условие несжимаемости Таким образом, условие несжимаемости выполняется «в среднем» или, как говорят, является естественным для вариационного уравнения. Это позволяет при использовании вариационного уравнения (6.82) не заботиться о том, чтобы вектор смещений удовлетворял условию несжимаемости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление