Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ КООРДИНАТЫ И КОМПОНЕНТЫ

В предыдущих главах использовались прямоугольные декартовы координаты. В этой главе будут введены комплексные координаты и компоненты векторов, тензоров. Комплексные величины упрощают промежуточные выкладки и дают более компактные и обозримые окончательные зависимости. Для некоторых классов задач удобно вводить функции комплексной переменной. Комплексную запись можно рассматривать как аналог векторной. Материалы гл. 4 следует рассматривать как дальнейшее развитие комплексного метода Г. В. Колосова [27].

4.1. Приведение к комплексным координатам и компонентам

Введем комплексные координаты

Рассматривая теперь аргументами функций комплексные координаты, переходим к интегрированию по ним с помощью следующих из (4.1) формул:

Для тензора второго ранга удобно ввести комплексные комбинации компонент, называемые комплексными компонентами:

Разовьем необходимый в дальнейшем аппарат. Пусть еще один тензор второго ранга. Расписывая скалярное произведение получаем, используя (4.3),

Из (4.3) для сопряженного тензора усматривается

Для единичного тензора екеа [см. (1.32), (4.3)]

Полагая в и решая полученную систему, находим

По формулам (1.11) и (4.3) подсчитываем выражения для инвариантов тензора через его комплексные компоненты:

Сопоставление последнего выражения с последним из (4.6) дает

Для симметричного тензора аареаер

Выпишем в заключение следующие из (4.2) полезные зависимости

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление