Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Внутренние связи

Вернемся к соотношению (3.10). Оно было получено из равенства (3.9) в силу произвольности Последние, однако, не являются произвольными в случае, если на деформации наложены некоторые внутренние связи. Рассмотрим три типа таких связей, наиболее часто используемых.

1). Несжимаемость. Варьируя условие несжимаемости материала получаем с учетом (3.5)

Умножая полученное условие на произвольную вещественную функцию и прибавляя к равенству (3.9), находим

Из-за связи (3.26) здесь уже нельзя считать все линейно-независимыми: одна из них линейно зависит от всех остальных. Выберем функцию так, чтобы скобка перед зависимой вариацией была равна нулю. Поскольку остальные вариации линейно-независимы, равны нулю и остальные скобки, т. е.

или

либо, наконец,

Таким образом, для несжимаемого материала тензор напряжений определяется с точностью до произвольного всестороннего давления. В упругом же законе необходимо провести замены

2). Сохранение прямого угла. Пусть ортогональные между собой малые векторы, так что Согласно (2.5) они переходят в векторы Пусть последние остаются ортогональными:

т. е. определяемый векторами прямой угол не скашивается при деформации. С учетом зависимостей (1.18), (2.6) это условие можно преобразовать к виду

Варьируя это условие и меняя индексы суммирования, получаем

Умножая эту связь на произвольную вещественную функцию и прибавляя полученную зависимость к равенству (3.9), находим, как и выше,

т. е.

или с учетом (2.6)

Таким образом, для материала с неискажаемым прямым углом тензор напряжений определяется с точностью до произвольной тангенциальной компоненты в осях, определяемых сторонами этого угла. В упругом же законе необходимо произвести замены

3). Нерастяжимость в данном направлении. Будем считать, что материальное волокно в направлении, определяемом малым вектором 1, нерастяжимо. В процессе деформации вектор 1 переходит в и условия нерастяжимости имеют вид

или с учетом (1.18), (2.6)

Повторяя преобразования, проделанные в случае 2), получаем

Таким образом, для материала, не растяжимого в данном направлении, тензор напряжений определяется с точностью до произвольной нормальной компоненты, отвечающей направлению нерастяжимости. При этом в законе упругости необходимо провести замены

В последующих главах будет показано, что обусловленные внутренними связями произвольные функции определяются из динамических (статических) зависимостей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление