Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17.2. Закон Гука для анизотропных материалов

Для анизотропного материала в ортогональных координатах физические компоненты тензора напряжений и линеаризованного тензора деформации связаны законом Гука

При

При переходе к другой ортогональной системе координат модули упругости преобразуются по формуле

где косинусы углов поворота, подсчитываемые по формулам (1.3).

Получим ограничения на выбор модулей упругости, обусловливемые симметрией механических свойств материалов. Для этого удобно использовать комплексные комбинации

(см. скан)

и обратные им зависимости

(см. скан)

Рассмотрим поворот вокруг 3-й оси на угол При этом согласно (1.46)

Отсюда и из (17.2), (17.3) находим

Для оси второго порядка и требование инвариантности величин относительно рассмотренного поворота приводится согласно (17.6) к требованиям, сведенным в первую строку следующей таблицы:

Остальные ограничения выявляются аналогично. Согласно (17.4) выявленные ограничения можно записать и так:

(см. скан)

Рассмотрим поперечную поворотную ось 2-го порядка считая ее совпадающей с 1-й координатной осью Нетрудно видеть, что ограничения на упругие модули можно получить из ограничений для оси в (17.7) путем замены индексов: При этом с учетом (17.1)

Рассмотрим, наконец, равнонаклоненную к координатным осям ось симметрии третьего порядка Нетрудно видеть, что поворот вокруг этой оси на угол переводит первую координатную ось во вторую, вторую в третью и третью в первую. Неизменность модулей упругости имеет место при

Соотношения (17.7)-(17.9) и четвертый столбец в табл. 17.1 позволяют получить ограничения на вид модулей для всех кристаллических классов и текстур. Напомним, что четвертым столбцом можно пользоваться с учетом сделанного в конце параграфа 17.1 замечания об инвариантности компонент тензора четного ранга относительно преобразования инверсии. С учетом сказанного в параграфе 17.1 и руководствуясь следующим правилом замены пар индексов

соберем существенно различные модули в симметричные матрицы шестого порядка. Для сингоний (кристаллических систем) имеем:

(см. скан)

(см. скан)

Из соотношений (17.4), (17.6) и матрицы гексагональной сингонии усматривается, что в последней «уцелели» лишь модули, инвариантные относительно произвольного поворота вокруг 3-й оси. Поэтому текстура с осью поворота бесконечного порядка в отношении упругих свойств ведет себя как кристаллы гексагональной сингонии.

Гиротропная и изотропная среды должны, очевидно, обладать симметрией как гексагональной, так и кубической сингонии. Сопоставление их матриц приводит к матрице

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление