Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.14. Энергетический критерий устойчивости

Пусть

малая вариация вектора смещения. Потребуем, чтобы она, будучи достаточно гладкой функцией, была и геометрически допустимой,

т. е. удовлетворяла условию

В остальном это произвольная функция.

Из равенства (16.91), (16.34) следует

Снабжая штрихом возмущенные величины и отбрасывая в дальнейшем малые выше второго порядка, имеем [см. (6.6), (6.9), (6.1)]

Используя далее формулу Тэйлора, находим

Отсюда и из получаем для сжимаемого материала

где

первая и вторая вариации упругого потенциала. При этом вариации смещения отвечает приращение энергии деформации тела

Далее в процессе малой дополнительной деформации массовые силы изменяются от до со средним значением Среднее же значение поверхностной силы — Поэтому работа внешних сил на (малой) вариации смещения подсчитывается по формуле

Сформулируем теперь энергетический критерий устойчивости равновесия тела: равновесие тела устойчиво, коль скоро

отвечающее произвольной геометрически допустимой вариации смещения приращение энергии деформации больше совершаемой на ней работы внешних сил.

Согласно (16.95), (16.96) сформулированный критерий записывается в виде

С учетом вариационного начала Лагранжа (6.77) вторая квадратная скобка равна нулю. Подставляя в первую выражение (16.94), приходим к окончательной форме записи энергетического критерия устойчивости равновесия тела при сжимаемом материале:

При этом критерий должен выполняться для любого, не равного нулю тождественно, геометрически допустимого

Поясним использование в (16.97) обозначения Для этого рассмотрим случай потенциальных внешних сил

где потенциалы массовой и поверхностной внешних сил. В частности, для «мертвых» сил

Согласно (16.98)

Меняя затем в (6.77) порядок интегрирования и варьирования (это можно делать в силу независимости от приходим к условию стационарности

полной энергии тела

представляющей собой потенциальную энергию системы, в которую помимо тела включены материальные объекты (в том числе поля), реализующие внешние силы.

Используя соотношения (16.92)-(16.94), (16.99), а также Выражения

получаем из (16.100) выражение для второй вариации полной энергии:

Согласно (16.98)

Теперь нетрудно видеть, что выражение (16.101) совпадает с так же обозначенным выражением левой части неравенства (16.97).

Таким образом, в рассматриваемом случае потенциальной внешней нагрузки энергетический критерий устойчивости (16.97) отвечает минимуму полной энергии тела, обеспечиваемому положительностью второй вариации полной энергии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление